Question

【題目】如圖，已知AB∥CD．

（1）發(fā)現(xiàn)問題：若∠ABF＝∠ABE，∠CDF＝∠CDE，則∠F與∠E的等量關(guān)系為　 　．

（2）探究問題：若∠ABF＝∠ABE，∠CDF＝∠CDE．猜想：∠F與∠E的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

（3）歸納問題：若∠ABF＝∠ABE，∠CDF＝∠CDE．直接寫出∠F與∠E的等量關(guān)系．

Answer 1

【答案】（1）∠BED＝2∠BFD；（2）∠BED＝3∠BFD，見解析；（3）∠BED＝n∠BFD．

【解析】

（1）過點(diǎn)E，F分別作AB的平行線EG，FH，由平行線的傳遞性可得AB∥EG∥FH∥CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠ABF＝∠BFH，∠CDF＝∠DFH，從而得出∠BFD=∠CDF+∠ABF，同理可得出∠BED＝∠ABE+∠CDE，最后可得出∠BED＝2∠BFD；

（2）同（1）可知∠BFD=∠CDF+∠ABF，∠BED＝∠ABE+∠CDE，再根據(jù)∠ABF＝∠ABE，∠CDF＝∠CDE即可得到結(jié)論；

（3）同（1）（2）的方法即可得出∠F與∠E的等量關(guān)系．

解：（1）過點(diǎn)E、F分別作AB的平行線EG，FH，由平行線的傳遞性可得AB∥EG∥FH∥CD，

∵AB∥FH，

∴∠ABF＝∠BFH，

∵FH∥CD，

∴∠CDF＝∠DFH，

∴∠BFD＝∠DFH+∠BFH＝∠CDF+∠ABF；

同理可得∠BED＝∠DEG+∠BEG＝∠ABE+∠CDE，

∵∠ABF＝∠ABE，∠CDF＝∠CDE，

∴∠BFD＝∠CDF+∠ABF=（∠ABE+∠CDE）＝∠BED，

∴∠BED＝2∠BFD．

故答案為：∠BED＝2∠BFD；

（2）∠BED＝3∠BFD．證明如下：

同（1）可得，

∠BFD＝∠CDF+∠ABF，∠BED＝∠ABE+∠CDE，

∵∠ABF＝∠ABE，∠CDF＝∠CDE，

∴∠BFD＝∠CDF+∠ABF＝（∠ABE+∠CDE）＝∠BED，

∴∠BED＝3∠BFD．

（3）同（1）（2）可得，

∠BFD＝∠CDF+∠ABF，∠BED＝∠ABE+∠CDE，

∵∠ABF＝∠ABE，∠CDF＝∠CDE，

∴∠BFD＝∠CDF+∠ABF＝（∠ABE+∠CDE）＝∠BED，

∴∠BED＝n∠BFD．