Question

直線l的解析式為y=

3

4

x+8，與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，P是x軸上一點(diǎn)，以P為圓心的圓與直線l相切于B點(diǎn)．
（1）求點(diǎn)P的坐標(biāo)及⊙P的半徑R；
（2）若⊙P以每秒

10

3

個(gè)單位沿x軸向左運(yùn)動(dòng)，同時(shí)⊙P的半徑以每秒

2

3

個(gè)單位變小，設(shè)⊙P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，且⊙P始終與直線l有交點(diǎn)，試求t的取值范圍；
（3）在（2）中，設(shè)⊙P被直線l截得的弦長(zhǎng)為a，問(wèn)是否存在t的值，使a最大？若存在，求出t的值；
（4）在（2）中，設(shè)⊙P與直線l的一個(gè)交點(diǎn)為Q，使得△APQ與△ABO相似，請(qǐng)直接寫(xiě)出此時(shí)t的值．

Answer 1

分析：（1）直線l的解析式y(tǒng)=

3

4

x+8，與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，求出A（-

32

3

，0），B（0，8），再得出△ABO∽△BPO，進(jìn)而求出OP的長(zhǎng)，再利用勾股定理求出即可．
（2）由R≥點(diǎn)P到直線L的距離，則⊙P始終與直線l有交點(diǎn)，求得t的取值范圍．
（3）先假設(shè)存在這樣的t，然后由二次函數(shù)最值求法求出t值．
（4）利用在（2）中，設(shè)⊙P與直線l的一個(gè)交點(diǎn)為Q，使得△APQ與△ABO相似，即PQ⊥AB時(shí)就符合要求求出即可．

解答：解：（1）如圖，由于直線ly=

3

4

x+8與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，
∵y=

3

4

x+8，
∴y=0，x=-

32

3

．A（-

32

3

，0），
∴x=0，y=8．B（0，8），
又OB⊥AP，AB切⊙P于B點(diǎn)，可以得到△ABO∽△BPO，
∴

BO

AO

=

PO

BO

，
∴

8

32 3

=

OP

8

，
∴OP=6，
P為圓心的圓與直線L相切于B點(diǎn)．
R=PB=

62+82

=10；

（2）∵R是點(diǎn)P到直線L的距離，則⊙P始終與直線l有交點(diǎn)．
P[（6-

10

3

t），0]，R=10-

2t

3

，L：3x-4y+32=0，
點(diǎn)P到直線L的距離H=|10-2t|，
10-

2t

3

≥|10-2t|，
10-

2t

3

≥10-2t≥-（10-

2t

3

），
t≤0，
點(diǎn)P到直線L的距離：H=|10-2t|，
10-

2t

3

≥10-2t≥-（10-

2t

3

），
7.5≥t≥0；

（3）∵（

a

2

）²=R²-H²=（10-

2t

3

）²-（10-2t）²=（-

32

9

）×（t-

15

4

）²+50，
t=

15

4

，（

a

2

）²_最大=50，a_最大=10

2

；

（4）∵在（2）中，設(shè)⊙P與直線l的一個(gè)交點(diǎn)為Q，使得△APQ與△ABO相似，
即△APQ與△ABO相似，∴PQ垂直AB，
∴⊙P與直線L相切，
t=0，或t=7.5．
當(dāng)△APQ∽△AOB時(shí)，PQ⊥OA，則

PQ

OB

=

AP

AO

，即

10- 2t 3

8

=

6- 10t 3 + 32 3

32 3

，
解得：t=

5

11

．
則t=0，或t=7.5或

5

11

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了一次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及相似三角形的判定與性質(zhì)和二次函數(shù)最值求法等知識(shí)，根據(jù)已知借助數(shù)形結(jié)合得出相似三角形是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．