(2012•惠城區(qū)模擬)如圖,將邊長為a的正六邊形A1A2A3A4A5A6在直線l上由圖1的位置按順時針方向向右作無滑動滾動,當(dāng)A1第一次滾動到圖2位置時,頂點A1所經(jīng)過的路徑的長
4+2
3
3
πa
4+2
3
3
πa
分析:連A1A5,A1A4,A1A3,作A6C⊥A1A5,利用正六邊形的性質(zhì)分別計算出A1A4=2a,A1A5=A1A3=
3
a,而當(dāng)A1第一次滾動到圖2位置時,頂點A1所經(jīng)過的路徑分別是以A6,A5,A4,A3,A2為圓心,以a,
3
a,2a,
3
a,a為半徑,圓心角都為60°的五條弧,然后根據(jù)弧長公式進行計算即可.
解答:解:連A1A5,A1A4,A1A3,作A6C⊥A1A5,如圖,
∵六邊形A1A2A3A4A5A6為正六邊形,
∴A1A4=2a,∠A1A6A5=120°,
∴∠CA1A6=30°,
∴A6C=
1
2
a,A1C=
3
2
a,
∴A1A5=A1A3=
3
a,
當(dāng)A1第一次滾動到圖2位置時,頂點A1所經(jīng)過的路徑分別是以A6,A5,A4,A3,A2為圓心,
以a,
3
a,2a,
3
a,a為半徑,圓心角都為60°的五條弧,
∴頂點A1所經(jīng)過的路徑的長=
4+2
3
3
πa
,
故答案為:
4+2
3
3
πa
點評:本題考查了弧長公式:l=
nπr
180
,也考查了正六邊形的性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).
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