Question

【題目】如圖，在等腰直角三角形中，，以為一邊向外做平行四邊形，連接，井延長交于，延長交于，且．

（1）如圖1，若，求；

（2）如圖1，求證：；

（3）如圖2，延長交于，連接交于，過作的平行線交于，交于，連接，若，平行四邊形面積為96，．求的長．

Answer 1

【答案】（1）45°；（2）見詳解；（3）FN+AN=5+

【解析】

（1）首先證明四邊形ABDE是菱形，然后利用菱形的性質(zhì)求出∠EDB的度數(shù)，進而求出∠DAG,∠ECB的度數(shù)最后利用三角形外角的性質(zhì)即可求解;
（2）連接BF,由菱形的性質(zhì)推出△EAF≌△BAF(SAS)，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)推出∠EFA=∠BFA=45°，進而∠CFB=90°，推出BF2+CF2=BC2，BC2=AB2+AC2=2AB2=2DE2，從而得出BF2+CF2=2DE2

（3）首先通過菱形的面積公式求出BE的長度，進面可求出英形的邊長，然后利用三角形中位線的可得出OM,MN.CH的長度，進而利用勾股定理即可求出AH的長度，然后由（2）可知∠BFC=90°,根據(jù)中線的性質(zhì)求得FN=BC=5,則答案可解．

解：（1）∵，，

∴AB=BD，

∴平行四邊形ABDE是菱形，

∴AB=BD=DE=EA=AC，

∵DE∥AB，∠BAC=90°

∴∠DGA=90°

∵∠EDA=70°

∴∠DAG=180°-∠EDA-∠DGA=180°-70°-90°=20°=∠CAF

∵DE=EA,

∴∠EDA=∠EAD=70°

∴∠GAE=∠EAD-∠CAF=70°-20°=50°

∵EA=AC，

∴∠AEC=∠ACE

∵∠GAE=∠AEC+∠ACE=2∠ACE=50°

∴∠ACE=25°

∴∠EFD=∠ACE +∠CAF=25°+20°=45°

故答案為：∠EFD=45°

（2）證明：如圖1，連接BF，

∵平行四邊形ABDE是菱形，

∴AE=AB，∴∠EAD=∠BAD=70°

∴∠EAF=∠BAF

在△EAF和△BAF中

∴△EAF≌△BAF(SAS)

∴EF=BF，∠EFA=∠BFA=45°，

∴∠EFB=90°，

∴∠CFB=90°，

∴BF2+CF2=BC2，BC2=AB2+AC2=2AB2=2DE2

∴BF2+CF2=2DE2

（3）如圖2，連接BF

∵S菱形ABDE=AD·BE=96，AD=12

∴BE=16，

∴OE=BE=8，OD=AD=6

∴DE=

∴BC=

∵Rt△OEF是等腰直角三角形，

∴EF=2OE，

由（2）結(jié)論得，CF=2OD

∴EF=8，CF=6

∴EF=14

∵O為BE的中點，ON∥EC

∴ON=EC=7

∵

∴MN=ON-OM=

∴CH=

∵∠BAC=90°,

∴∠HAC=90°

∴AH=

由（2）可知：∠BFC=90°,N是BC的中點，

∴FN=BC=5，

∴FN+AN=5+

故答案為：FN+AN=5+