Question

【題目】如圖，直線、是緊靠某湖泊的兩條相互垂直的公路，曲線段是該湖泊環(huán)湖觀光大道的一部分．現(xiàn)準(zhǔn)備修建一條直線型公路，用以連接兩條公路和環(huán)湖觀光大道，且直線與曲線段有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)．已知點(diǎn)到、的距離分別為和，點(diǎn)到的距離為，點(diǎn)到的距離為．若分別以、為軸、軸建立平面直角坐標(biāo)系，則曲線段對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為．

（1）求的值，并指出函數(shù)的自變量的取值范圍；

（2）求直線的解析式，并求出公路的長度(結(jié)果保留根號(hào))．

Answer 1

【答案】（1），自變量的取值范圍為；（2），公路的長度為．

【解析】

（1）先確定點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，8），將其代入即可求出k=8，進(jìn)而確定自變量的取值范圍；

（2）設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b（k≠0），將點(diǎn)P（2，4）代入得4=2k+b，即b=4-2k，則直線AB的解析式為y=kx+4-2k，根據(jù)直線AB與曲線段CD有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)P，求出k=-2，那么直線AB的解析式為y=-2x+8，再分別求出A、B的坐標(biāo)，進(jìn)而得到AB的長度．

解：（1）由題意得：點(diǎn)的坐標(biāo)為，將其代入得：，

曲線段的函數(shù)解析式為，

點(diǎn)的坐標(biāo)為

∴自變量的取值范圍為；

（2）設(shè)直線的解析式為，

由（1）易求得點(diǎn)的坐標(biāo)為，

，即，

直線的解析式為，

聯(lián)立，得，

，

由題意得：，解得，

直線的解析式為，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，

即、的坐標(biāo)分別為，，

．

公路的長度為．