Question

如圖，△ABC中，AB=AC=5，BC=6，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，∠EDF=∠B，點(diǎn)E、F分別在AB、AC上．
（1）證明△BED∽△CDF；
（2）設(shè)BE=x，CF=y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出x的取值范圍；
（3）連EF，△DEF能否成為等腰三角形？如果可能，求出相應(yīng)的x的值．

Answer 1

分析：（1）由平角的定義得到∠EDB+∠FDC=180°-∠EDF，利用三角形的內(nèi)角和定理得到∠DEB+∠EDB=180°-∠B，再由∠EDF=∠B，利用等量代換得到一對(duì)角相等，再由AB=AC，利用等邊對(duì)等角得到一對(duì)角相等，利用兩對(duì)應(yīng)角相等的兩三角形相似可得證；
（2）由（1）得到的三角形相似，利用相似得比例，將各自的值代入列出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求出x的范圍即可；
（3）△DEF能成為等腰三角形，理由為：當(dāng)BE=CF時(shí)，利用SAS可得出三角形BED和三角形CFD全等，由全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等可得出DE=DF，即三角形DEF為等腰三角形，此時(shí)y=x，代入由（2）得出的函數(shù)解析式，列出關(guān)于x的方程，求出方程的解即可得到x的值．

解答：解：（1）證明：∵∠EDB+∠FDC=180°-∠EDF，∠DEB+∠EDB=180°-∠B，且∠EDF=∠B，
∴∠FDC=∠DEB，
又AB=AC，∴∠B=∠C，
∴△BED∽△CDF；
（2）∵△BED∽△CDF，
∴

BE

CD

=

ED

DF

=

BD

CF

，
∵AB=AC=5，BC=6，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，
∴BD=CD=3，又BE=x，CF=y，
∴

x

3

=

3

y

，
則y=

9

x

（0＜x＜5）；
（3）△DEF能成為等腰三角形，理由為：
若BE=CF，
在△BED和△CFD中，

BE=CF ∠B=∠C BD=CD

，
∴△BED≌△CFD（SAS），
∴DE=DF，即△DEF能成為等腰三角形，
此時(shí)y=x，即

9

x

=x，
解得：x=3或x=-3（舍去），
則當(dāng)x=3時(shí)，△DEF為等腰三角形．

點(diǎn)評(píng)：此題屬于相似形綜合題，涉及的知識(shí)有：全等三角形的判定與性質(zhì)，以及相似三角形的判定與性質(zhì)，利用了轉(zhuǎn)化及等量代換的思想，其中相似三角形的判定方法有：兩對(duì)對(duì)應(yīng)角相等的兩三角形相似；兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等的兩三角形相似；三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩三角形相似．