Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=2，AD=．
（1）在邊CD上找一點E，使EB平分∠AEC，并加以說明；
（2）若P為BC邊上一點，且BP=2CP，連接EP并延長交AB的延長線于F．
①求線段BF的長度；
②△PAE能否由△PFB繞P點按順時針方向旋轉而得到？若能，加以證明，并求出旋轉度數(shù)；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）先在CD上截取點E，使AE=AB，得到∠AEB=∠ABE，再根據(jù)AB∥CD，得出∠ABE=∠BEC，即可證出EB平分∠AEC；
（2）①根據(jù)CE∥BF，得出=，再根據(jù)BC=2，即可求出BF的長；
②根據(jù)和BC的值，得出PC和PB的長，根據(jù)勾股定理得出EP的長，在Rt△BPF中，求出tan∠BPF=，得出∠BPF=60°，即可證出△PBF≌△PEA和∠APF的度數(shù)．
解答：解：（1）在CD上截取點E，使AE=AB，
則∠AEB=∠ABE，
∵AB∥CD，
∴∠ABE=∠BEC，
∴∠AEB=∠BEC，
∴EB平分∠AEC；
（2）①∵CE∥BF，
∴==，
在Rt△ADE中，
DE===1，
∴CE=1，
∴BF=2；
②能；
∵=，BC=，
∴PC=，PB=，
∴EP==，
∴BP=EP，
∵PB⊥AF，AB=BF，
∴PA=PF，
在Rt△BPF中，
∵tan∠BPF===，
∴∠BPF=60°，
∴∠BPA=∠APE=60°，
∴△PBF≌△PEA，∠APF=120°，
∴△PAE能由△PFB繞P點按順時針方向旋轉而得到，旋轉的度數(shù)120°．
點評：此題考查了旋轉的性質，用到的知識點是勾股定理、相似三角形的判定與性質、特殊角的三角函數(shù)值、角平分線的性質等，解題的關鍵是證出△PBF≌△PEA，難度適中．