Question

（2013•齊齊哈爾）在銳角三角形ABC中，AH是BC邊上的高，分別以AB、AC為一邊，向外作正方形ABDE和ACFG，連接CE、BG和EG，EG與HA的延長線交于點M，下列結論：①BG=CE ②BG⊥CE ③AM是△AEG的中線 ④∠EAM=∠ABC，其中正確結論的個數是（　　）

A．4個

B．3個

C．2個

D．1個

Answer 1

分析：根據正方形的性質可得AB=AE，AC=AG，∠BAE=∠CAG=90°，然后求出∠CAE=∠BAG，再利用“邊角邊”證明△ABG和△AEC全等，根據全等三角形對應邊相等可得BG=CE，判定①正確；設BG、CE相交于點N，根據全等三角形對應角相等可得∠ACE=∠AGB，然后求出∠CNG=90°，根據垂直的定義可得BG⊥CE，判定②正確；過點E作EP⊥HA的延長線于P，過點G作GQ⊥AM于Q，根據同角的余角相等求出∠ABH=∠EAP，再利用“角角邊”證明△ABH和△EAP全等，根據全等三角形對應角相等可得∠EAM=∠ABC判定④正確，全等三角形對應邊相等可得EP=AH，同理可證GQ=AH，從而得到EP=GQ，再利用“角角邊”證明△EPM和△GQM全等，根據全等三角形對應邊相等可得EM=GM，從而得到AM是△AEG的中線．

解答：解：在正方形ABDE和ACFG中，AB=AE，AC=AG，∠BAE=∠CAG=90°，
∴∠BAE+∠BAC=∠CAG+∠BAC，
即∠CAE=∠BAG，
∵在△ABG和△AEC中，

AB=AE ∠CAE=∠BAG AC=AG

，
∴△ABG≌△AEC（SAS），
∴BG=CE，故①正確；
設BG、CE相交于點N，
∵△ABG≌△AEC，
∴∠ACE=∠AGB，
∵∠NCF+∠NGF=∠ACF+∠AGF=90°+90°=180°，
∴∠CNG=360°-（∠NCF+∠NGF+∠F）=360°-（180°+90°）=90°，
∴BG⊥CE，故②正確；
過點E作EP⊥HA的延長線于P，過點G作GQ⊥AM于Q，
∵AH⊥BC，
∴∠ABH+∠BAH=90°，
∵∠BAE=90°，
∴∠EAP+∠BAH=180°-90°=90°，
∴∠ABH=∠EAP，
∵在△ABH和△EAP中，

∠ABH=∠EAP ∠AHB=∠P=90° AB=AE

，
∴△ABH≌△EAP（AAS），
∴∠EAM=∠ABC，故④正確，
EP=AH，
同理可得GQ=AH，
∴EP=GQ，
∵在△EPM和△GQM中，

∠P=∠MQG=90° ∠EMP=∠GMQ EP=GQ

，
∴△EPM≌△GQM（AAS），
∴EM=GM，
∴AM是△AEG的中線，故③正確．
綜上所述，①②③④結論都正確．
故選A．

點評：本題考查了正方形的性質的運用，全等三角形的判定及性質的運用，在解答時作輔助線EP⊥HA的延長線于P，過點G作GQ⊥AM于Q構造出全等三角形是難點，運用全等三角形的性質是關鍵．