Question

如圖1，已知：拋物線y=

1

2

x2+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，經(jīng)過B、C兩點(diǎn)的直線是y=

1

2

x-2，連接AC．
（1）寫出B、C兩點(diǎn)坐標(biāo)，并求拋物線的解析式；
（2）判斷△ABC的形狀，并說明理由；
（3）若△ABC內(nèi)部能否截出面積最大的矩形DEFG（頂點(diǎn)D、E、F、G在△ABC各邊上）？若能，求出在AB邊上的矩形頂點(diǎn)的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說明理由．
{拋物線y=ax²+bx+c的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(-

b

2a

，

4ac-b2

4a

)}．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)直線BC的解析式，可確定B、C的坐標(biāo)，代入拋物線的解析式中，即可確定待定系數(shù)的值．
（2）由（1）得到的拋物線解析式，可求得A點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可得到AB、AC、BC的長，然后根據(jù)這三邊的長，來判斷△ABC的形狀．
（3）此題應(yīng)分兩種情況考慮：
①矩形有兩個(gè)頂點(diǎn)在AB邊上（設(shè)這兩點(diǎn)為D、E），首先設(shè)出DG的長為m，利用相似三角形△CFG∽△CBA得到的比例線段，可求得GF的表達(dá)式，進(jìn)而可根據(jù)矩形的面積公式求出關(guān)于矩形的面積和m的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可得到矩形的最大面積及對(duì)應(yīng)的m值，從而確定出矩形的四頂點(diǎn)的坐標(biāo)；
②矩形有一個(gè)頂點(diǎn)在AB邊上（設(shè)為D），此時(shí)C、F重合，方法同①，首先設(shè)DE=n，由△ADG∽△ABC求出DG的長，進(jìn)而根據(jù)矩形的面積公式得到關(guān)于矩形的面積和n的函數(shù)關(guān)系式，從而根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求得矩形的最大面積和對(duì)應(yīng)的n值，進(jìn)而確定矩形的四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)．

解答：解：（1）直線y=

1

2

x-2中，令y=0，則x=4；令x=0，則y=-2；
故B（4，0），C（0，-2）；
由于拋物線經(jīng)過點(diǎn)C（0，-2），故c=-2；
將B點(diǎn)坐標(biāo)代入y=

1

2

x²-bx-2中，得：b=-

3

2

；
∴拋物線的解析式為y=

1

2

x2-

3

2

x-2．

（2）根據(jù)（1）中的函數(shù)解析式可知A（-1，0），B（4，0），C（0，-2）；
則AB=5，AC=

5

，BC=2

5

；
故AC²+BC²=5+20=25=AB²，
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°．

（3）分兩種情況考慮：
①如圖①所示，矩形DEFG中D、E在AB邊上；
設(shè)DG=EF=m；
由于FG∥x軸，則△CGF∽△CAB，

2-m

2

=

FG

5

，
解得FG=5-

5

2

m；
故矩形的面積S=DG•FG=（5-

5

2

m）m=-

5

2

m²+5m，
即S=-

5

2

（m-1）²+

5

2

，
故m=1時(shí)，矩形的面積最大為2.5；
此時(shí)D（-

1

2

，0），E（2，0），G（-

1

2

，-1），F(xiàn)（2，-1）；
②如圖②所示，矩形DEFG中，F(xiàn)、C重合，D在AB邊上；
設(shè)DE=CG=n，同①可得：

5 -n

5

=

DG

2 5

即DG=2

5

-2n；
故矩形的面積S=DE•DG=（2

5

-2n）n=-2（n-

5

2

）²+

5

2

；
即當(dāng)n=

5

2

時(shí)，矩形的最大面積為2.5；
此時(shí)BD=5×

DE

5

=

5

2

，OD=OB-BD=

3

2

，
即D（

3

2

，0）；
綜上所述，矩形的最大面積為2.5，此時(shí)矩形在AB邊上的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-

1

2

，0），（2，0）或（

3

2

，0）．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了二次函數(shù)解析式的確定、直角三角形的判定、矩形面積的計(jì)算方法、二次函數(shù)最值的應(yīng)用等知識(shí)，要注意（3）題中，矩形的擺放方法有兩種，不要漏解．