Question

提出問題：如圖①,在四邊形ABCD中,點E、F是AD的n等分點中最中間2個,點G、H是BC的n等分點中最中間2個,（其中n為奇數(shù)）,連接EG、FH,那么S_{四邊形EFHG}與S_{四邊形ABCD}之間有什么關(guān)系呢？

                                          

探究發(fā)現(xiàn)：為了解決這個問題,我們可以先從一些簡單的、特殊的情形入手：

(1)如圖②：四邊形ABCD中,點E、F是AD的3等分點,點G、H是BC的3等分點,連接EG、FH,那么S_{四邊形EFHG}與S_{四邊形ABCD}之間有什么關(guān)系呢？

如圖③,連接EH、BE、DH,

因為△EGH與△EBH高相等,底的比是1:2,

所以S_△EGH=S_△EBH

因為△EFH與△DEH高相等,底的比是1:2,

所以S_△EFH=S_△DEH

所以S_△EGH+S_△EFH=S_△EBH +S_△DEH

即S_{四邊形EFHG}=S_{四邊形EBHD}

連接BD,

因為△DBE與△ABD高相等,底的比是2：3,

所以S_△DBE=S_△ABD

因為△BDH與△BCD高相等,底的比是2：3,

所以S_△BDH=S_△BCD

所以S_△DBE +S_△BDH=S_△ABD+S_△BCD =(S_△ABD+S_△BCD)

=S_{四邊形ABCD}

即S_{四邊形EBHD}=S_{四邊形ABCD}

所以S_{四邊形EFHG}=S_{四邊形EBHD}=×S_{四邊形ABCD}=S_{四邊形ABCD}

（1）如圖④：四邊形ABCD中,點E、F是AD的5等分點中最中間2個,點G、H是BC的5等分點中最中間2個,連接EG、FH,猜想：S_{四邊形EFHG}與S_{四邊形ABCD}之間有什么關(guān)系呢                        

驗證你的猜想：

（2）問題解決：如圖①,在四邊形ABCD中,點E、F是AD的n等分點中最中間2個,點G、H是BC的n等分點中最中間2個,連接EG、FH,（其中n為奇數(shù)）

那么S_{四邊形EFHG}與S_{四邊形ABCD}之間的關(guān)系為：                             （不必寫出求解過程）

 

Answer 1

【答案】

（1）S_{四邊形EFHG}=S_{四邊形ABCD,}證明見解析；

（2）S_{四邊形EFHG}=S_{四邊形ABCD}．

【解析】

試題分析：仿照上面的探究思路,類比求解．

試題解析：（1）四邊形ABCD中,點E、F是AD的5等分點中最中間2個,點G、H是BC的5等分點中最中間2個,連接EG、FH,S_{四邊形EFHG}=S_{四邊形ABCD,}

如圖④：連接EH、BE、DH,

因為△EGH與△EBH高相等,底的比是1:3,

所以S_△EGH=S_△EBH

因為△EFH與△DEH高相等,底的比是1:3,

所以S_△EFH=S_△DEH

所以S_△EGH+S_△EFH=S_△EBH +S_△DEH

即S_{四邊形EFHG}=S_{四邊形EBHD}

連接BD,

因為△DBE與△ABD高相等,底的比是3：5,

所以S_△DBE=S_△ABD

因為△BDH與△BCD高相等,底的比是3：5,

所以S_△BDH=S_△BCD

所以S_△DBE +S_△BDH=S_△ABD+S_△BCD = (S_△ABD+S_△BCD)

=S_{四邊形ABCD}

即S_{四邊形EBHD}=S_{四邊形ABCD}

所以S_{四邊形EFHG}=S_{四邊形EBHD}=×S_{四邊形ABCD}=S_{四邊形ABCD}．

（2）在四邊形ABCD中,點E、F是AD的n等分點中最中間2個,點G、H是BC的n等分點中最中間2個,連接EG、FH,（其中n為奇數(shù)）那么S_{四邊形EFHG}=S_{四邊形ABCD}．

考點：三角形的面積．