Question

如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8．點P，Q都是斜邊AB上的動點，點P從B 向A運動（不與點B重合），點Q從A向B運動，BP=AQ．點D，E分別是點A，B以Q，P為對稱中心的對稱點， HQ⊥AB于Q，交AC于點H．當點E到達頂點A時，P，Q同時停止運動．設BP的長為x，△HDE的面積為y．

1.求證：△DHQ∽△ABC

2.求y關于x的函數解析式并求y的最大值

3.當x為何值時，△HDE為等腰三角形？

 

Answer 1

 

1.∵A、D關于點Q成中心對稱，HQ⊥AB，

∴=90°，HD=HA，

∴，

∴△DHQ∽△ABC．-----------------------------------------------------2分

2.①如圖1，當時，

ED=，QH=，

此時．-------------------------3分

當時，最大值．--------------------------4分

②如圖2，當時，

ED=，QH=，

此時． --------------------------5分

當時，最大值．------------------------------6分

∴y與x之間的函數解析式為

y的最大值是．---------------------------------------------------------------7分

3.①如圖1，當時，

若DE=DH，∵DH=AH=， DE=，

∴=，．

顯然ED=EH，HD=HE不可能；-----------------------------------9分

②如圖2，當時，

若DE=DH，=，； -----------------10分

若HD=HE，此時點D，E分別與點B，A重合，；------------------11分

若ED=EH，則△EDH∽△HDA，

∴，，．   ------------------------12分

∴當x的值為時，△HDE是等腰三角形

解析:（1）∵A、D關于點Q成中心對稱，HQ⊥AB，

∴=90°，HD=HA，

∴，

∴△DHQ∽△ABC．-----------------------------------------------------2分

（2）①如圖1，當時，

ED=，QH=，

此時．-------------------------3分

當時，最大值．--------------------------4分

②如圖2，當時，

ED=，QH=，

此時． --------------------------5分

當時，最大值．------------------------------6分

∴y與x之間的函數解析式為

y的最大值是．---------------------------------------------------------------7分

（3）①如圖1，當時，

若DE=DH，∵DH=AH=， DE=，

∴=，．

顯然ED=EH，HD=HE不可能；-----------------------------------9分

②如圖2，當時，

若DE=DH，=，； -----------------10分

若HD=HE，此時點D，E分別與點B，A重合，；------------------11分

若ED=EH，則△EDH∽△HDA，

∴，，．   ------------------------12分

∴當x的值為時，△HDE是等腰三角形