已知等邊△ABC邊長為a，D、E分別為AB、AC邊上的動(dòng)點(diǎn)，且在運(yùn)動(dòng)時(shí)保持DE∥BC，如圖（1），⊙O₁與⊙O₂都不在△ABC的外部，且⊙O₁、⊙O₂分別與∠B和∠C的兩邊及DE都相切，其中和DE、BC的切點(diǎn)分別為M、N、M′、N′．
（1）求證：⊙O₁和⊙O₂是等圓；
（2）設(shè)⊙O₁的半徑長為x，圓心距O₁O₂為y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；
（3）當(dāng)⊙O₁與⊙O₂外切時(shí)，求x的值；
（4）如圖（2），當(dāng)D、E分別是AB、AC邊的中點(diǎn)時(shí)，將⊙O₂先向左平移至和⊙O₁重合，然后將重合后的圓沿著△ABC內(nèi)各邊按圖（2）中箭頭的方向進(jìn)行滾動(dòng)，且總是與△ABC的邊相切，當(dāng)點(diǎn)O₁第一次回到它原來的位置時(shí)，求點(diǎn)O₁經(jīng)過的路線長度？

如圖，已知拋物線y=

1

4

x²+1，直線y=kx+b經(jīng)過點(diǎn)B（0，2）
（1）求b的值；
（2）將直線y=kx+b繞著點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到與x軸平行的位置時(shí)（如圖1），直線與拋物線y=

1

4

x²+1相交，其中一個(gè)交點(diǎn)為P，求出P的坐標(biāo)；
（3）將直線y=kx+b繼續(xù)繞著點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，與拋物線相交，其中一個(gè)交點(diǎn)為P'（如圖②），過點(diǎn)P'作x軸的垂線P'M，點(diǎn)M為垂足．是否存在這樣的點(diǎn)P'，使△P'BM為等邊三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P'的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

如圖，在離旗桿40米的A處，用測角儀器測得旗桿頂?shù)难鼋菫?0°15′，已知測角儀器高AD=1.54米，求旗桿的高度BE（精確到0.1米，供選用的數(shù)據(jù)：sin30°15′=0.5038，cos30°15′=0.8638，tan30°15′=0.5832，cot30°15′=1.7147）．

電源電壓為220伏，若使標(biāo)有“220V～800V”的電器能在110伏～220伏的電壓下工作（用電器的電阻恒定），求：
（1）要使用電器達(dá)到使用要求，電器中應(yīng)連接一個(gè)什么樣的電器？怎樣連接？
（2）這個(gè)電器消耗的最大功率是多少？

想一想：△ABC與△A′B′C′的相似比和△A′B′C′與△ABC的相似比相等嗎？有無特殊情況？請(qǐng)你填一填：若△ABC與△A′B′C′的相似比為k₁，△A′B′C′與△ABC的相似比為k₂，則

AB

A′B′

=

BC

B′C′

=

AC

A′C′

=，k₂=

A′B′

AB

=

B′C′

BC

=

A′C′

AC

=，因此k₁，k₂一般不相等，其關(guān)系是，當(dāng)且僅當(dāng)它們?nèi)�等時(shí)，才有k₁=k₂=．

如圖，正方形網(wǎng)格中，小方格的邊長為1厘米，小格的頂點(diǎn)叫格點(diǎn)，△ABC和△EFD的三個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，如果△EFD是由△ABC經(jīng)過平移與位似兩次幾何變換得到的．
（1）在圖中畫出第一次平移變換后的圖形，并用圖示法或文字表達(dá)兩次幾何變換的過程（主要說明如何變換）；
（2）求△EFD的外接圓的半徑．

如圖1，已知雙曲線y=

k

x

(k＞0)與直線y=k₁x交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在第一象限．試解答下列問題：
（1）若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，2），則點(diǎn)B的坐標(biāo)為；
（2）若點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為m，則點(diǎn)B的坐標(biāo)可表示為；（用m、k表示）
（3）如圖2，過原點(diǎn)O作另一條直線y=k₂x（k₁≠k₂），交雙曲線y=

k

x

(k＞0)于P，Q兩點(diǎn)，點(diǎn)P在第一象限，求證：四邊形APBQ一定是平行四邊形；
（4）如圖3，當(dāng)k=12，k₁=

3

4

，k2=

4

3

時(shí)，判定四邊形APBQ的形狀，并證明．

直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)P（-2，-1），點(diǎn)T（t，0）是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．
（1）求點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)P′的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)t取何值時(shí)，△P′TO是等腰三角形？

矩形ABCD中，AB=5，BC=12，將對(duì)角線BD繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)D落在BC的延長線上的點(diǎn)D'處，那么tan∠BD'A的值等于．