某同學(xué)用兩個完全相同的直角三角尺重疊在一起（如圖①）固定△ABC不動，將△DEF沿線段AB向右平移．
（1）若∠A=60°，斜邊AB=4，設(shè)AD=x，兩個直角三角尺重疊部分的面積為y，試求出y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；
（2）當(dāng)D移至到什么位置時．四邊形CDBF是菱形，并加以證明；
（3）當(dāng)D移至AB中點時（如圖②），四邊形CDBF能否為正方形？若能，請你說明理由；若不能，請你添加一個條件說明四邊形CDBF為正方形？

在△ABC和△DEF中，∠ABC=∠DEF=90°，AB=DE=a，BC=EF=b（a＜b），B、C、D、E四點都在直線m上，點B與點D重合．連接AE、FC，我們可以借助于S_△ACE和S_△FCE的大小關(guān)系證明不等式：a²+b²＞2ab（b＞a＞0）．

解決下列問題：
（1）現(xiàn)將△DEF沿直線m向右平移，設(shè)BD=k（b-a），且0≤k≤1，如圖2．當(dāng)BD=EC時，k=．并利用此圖，仿照上述方法，證明不等式：a²+b²＞2ab（b＞a＞0）
（2）用四個與△ABC全等的直角三角形紙板進行拼接，也能夠借助圖形證明上述不等式．請你畫出一個示意圖，并簡要說明理由．

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，點P為AC邊上的一點，將線段AP繞點A順時針方向旋轉(zhuǎn)（點P對應(yīng)點P′），當(dāng)AP旋轉(zhuǎn)至AP′⊥AB時，點B、P、P′恰好在同一直線上，此時作P′E⊥AC于點E．

（1）求證：∠CBP=∠ABP；
（2）若AB-BC=4，AC=8，求AE的長；
（3）當(dāng)∠ABC=60°，BC=2時，點N為BC的中點，點M為邊BP上一個動點，連接MC，MN，求MC+MN的最小值．

有兩個全等的等腰直角三角板ABC和EFG（其直角邊長均為6）如圖1所示疊放在一起，使三角板EFG的直角頂點G與三角板ABC的斜邊中點O重合．現(xiàn)將三角板EFG繞O點順時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角α滿足0＜α°＜90°，四邊形CHGK是旋轉(zhuǎn)過程中兩塊三角板的重疊部分（如圖2）．
（1）在上述旋轉(zhuǎn)過程中，①BH與CK有怎樣的數(shù)量關(guān)系？②四邊形CHGK的面積是否發(fā)生變化？并證明你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論．
（2）如圖3，連接KH，在上述旋轉(zhuǎn)過程中，是否存在某一位置使△GKH的面積恰好等于△ABC面積的

5

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？若存在，請求出此時KC的長度；若不存在，請說明理由．

在邊長為2的正方形ABCD中，O為對稱中心，正方形OEFG繞點O旋轉(zhuǎn)，邊OE、OG分別與邊BC、CD交于點M、N．
（1）求證：OM=ON；
（2）探究四邊形OMCN的面積是否隨M、N的位置的變化而變化，說明理由；
（3）連結(jié)MN，探究在旋轉(zhuǎn)正方形OEFG的過程中，△OMN的周長是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，請說明理由．

如圖1，一等腰直角三角尺GEF的兩條直角邊與正方形ABCD的兩條邊分別重合在一起．現(xiàn)正方形ABCD保持不動，將三角尺GEF繞斜邊EF的中點O（點O也是BD中點）旋轉(zhuǎn)．
（1）如圖2的位置，當(dāng)EF與AB相交于點M，GF與BD相交于點N時，通過觀察或測量BM，F(xiàn)N的長度，猜想BM，F(xiàn)N滿足的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；
（2）若三角尺GEF旋轉(zhuǎn)到如圖3所示的位置時，線段FE的延長線與AB的延長線相交于點M，線段BD的延長線與GF的延長線相交于點N，此時，（1）中的猜想還成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．
（3）在（2）的條件下，若∠MOB=15°，正方形ABCD的面積為4，求三角形OBM的面積．

將一張矩形紙板沿對角線剪開得到兩個三角形，△ABC與△DEF，∠B=∠E=90°，如圖①所示．
（1）將△ABC與△DEF按如圖②方式擺放，使點B與E重合，點C、B、E、F在同一條直線上，邊AB與DE重合，連接CD、FA，并延長FA交CD于G．試證：FA⊥CD
（2）在（1）所述基礎(chǔ)上，將紙板△ACB沿直線CF向右平移，并剪去ED右側(cè)部分，此時CA與ED的交點為A₁，連接CD、FA₁，并延長FA₁交CD于G，如圖③所示，直線FA₁和CD的位置關(guān)系是（直接寫出）
（3）在（2）所述基礎(chǔ)上，將紙板△A₁CE繞點E逆時針旋轉(zhuǎn)α度（0°＜α＜90°）至如圖④所示位置，連接CD、FA₁，CD與FA₁交于點G，試判斷FA₁與CD的位置關(guān)系？并說明理由．

已知如圖1，Rt△ABC和Rt△ADE的直角邊AC和AE重疊在一起，AD=AE，∠B=30°，∠DAE=∠ACB=90°．
（1）如圖1，填空：∠BAD=；

BC

CD

=；
（2）如圖2，將△ADE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，使AE到AB邊上，∠ACH=∠BCH，連接BH，求∠CBH的度數(shù)；
（3）如圖3，點P是BE上一點，過A、E兩點分別作AN⊥PC、EM⊥PC，垂足分別為N、M，若EM=2，AN=5，求△AND的面積．

如圖，直角梯形紙片ABCD，AB∥CD，∠B=90°，AB=BC=2cm，tan∠D=

1

2

．E為AD邊上一動點．（E不與D重合，但可與A重合）過點E作EF⊥CD于點F，將紙片沿著EF折疊，使點D落在直線CD上的D′處．設(shè)DF=x（cm），△EFD′與直角梯形ABCD重疊部分面積為S（cm²）．
（1）求S與x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）在折疊過程中，是否存在x的值，使得△AED′是直角三角形？若存在，求出x的值；若不存在，請說明理由．
（3）記線段AD所在的直線為l，平移直線l，交BC所在的直線于點G，交CD所在的直線于點H，在直線AB上存在點I，使得△GHI為等腰直角三角形，請直接寫出滿足題意的線段IB的所有可能長度．

如圖1，把邊長分別是為4和2的兩個正方形紙片OABC和OD′E′F′疊放在一起．
（1）操作1：固定正方形OABC，將正方形OD′E′F′繞點O按順時針方向旋轉(zhuǎn)45°得到正方形ODEF，如圖2，連接AD、CF，線段AD與CF之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？試證明你的結(jié)論；
（2）操作2，在圖2，將正方形ODEF沿著射線DB以每秒1個單位的速度平移，平移后的正方形ODEF設(shè)為正方形PQMN，如圖3，設(shè)正方形PQMN移動的時間為x秒，正方形PQMN與正方形OABC的重疊部分面積為y，直接寫出y與x之間的函數(shù)解析式；
（3）操作3：固定正方形OABC，將正方形OD′E′F′繞點O按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到正方形OHKL，如圖4，求△ACK的面積．