△ABC是一塊等邊三角形的廢鐵片，利用其剪裁一個正方形DEFG，使正方形的一條邊DE落在BC上，頂點F、G分別落在AC、AB上．
(1) 證明：△BDG≌△CEF；
(2) 設△ABC的邊長為2，請你幫小聰求出正方形的邊長．（結(jié)果精確到十分位）
(3) 小穎想：不求正方形的邊長我也能畫出正方形．具體作法是：如圖3
①在AB邊上任取一點G′，如圖作正方形G′D′E′F′；
②連接BF′并延長交AC于F；
③作FE∥F′E′交BC于E，F(xiàn)G∥F′G′交AB于G，GD∥G′D′交BC于D，則四邊形DEFG即為所求．你認為小穎的作法正確嗎？請說明理由．

九年級上冊的教材第118頁有這樣一道習題：
“在一塊三角形余料ABC中，它的邊BC=120mm，高線AD=80mm．要把它加工成正方形零件（如圖），使正方形的一邊在BC上，其余兩個頂點分別在AB，AC上．問加工成的正方形零件的邊長為多少mm？”
（1）請你解答上題；
（2）若將上題圖中的正方形PQMN改為矩形，其余條件不變，求矩形PQMN的面積S的最大值；
（3）我們把上面習題中的正方形PQMN叫做“BC邊上的△ABC的內(nèi)接正方形”，若在習題的條件下，又知AB=150mm，AC=100mm，請分別寫出AB邊上的△ABC的內(nèi)接正方形的邊長和AC邊上的△ABC的內(nèi)接正方形的邊長（不必寫出過程，只要直接寫出答案即可，結(jié)果精確到1mm）；
（4）結(jié)合第（1）、（3）題，若三角形的三邊長分別為a，b，c，各邊上的高分別為h_a，h_b，h_c，要使a邊上的三角形內(nèi)接正方形的面積最大，請寫出a與h_a必須滿足的條件（不必寫出過程）．                                             

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC, AB = CD,E是AD的中點，AD=4，BC=6,點P是BC邊上的動點（不與點B重合），PE與BD相交于點O,設PB的長為x.

(1) 當P點在BC邊上運動時，求證：△BOP∽△DOE.
(2) 當x = （   ）時，四邊形ABPE是平行四邊形；當x = （   ）時，四邊形ABPE是直角梯形；
（3）當P在BC上運動的過程中，四邊形ABPE會不會是等腰梯形？試說明理由.

如圖，一塊直角三角板的直角頂點P放在正方形ABCD的BC邊上，并且使一條直角邊經(jīng)過點D，另一條直角邊與AB交于點Q.

（1）請你寫出一對相似三角形，并加以證明；
（2）當點P滿足什么條件時， ，請證明你的結(jié)論；

如圖：點D在⊿ABC的邊AB上，連接 CD，∠1=∠B，AD=4，AC=6， 求：BD的長

圖是小紅設計的鉆石形商標，△ABC是邊長為2的等邊三角形，四邊形ACDE是等腰梯形，AC∥ED，∠EAC=60°，AE=1．
（1）證明：△ABE≌△CBD；
（2）圖中存在多對相似三角形，請你找出一對進行證明，并求出其相似比（不添加輔助線，不找全等的相似三角形）；
（3）小紅發(fā)現(xiàn)AM=MN=NC，請證明此結(jié)論；
（4）求線段BD的長．

如圖，BD是⊙O的直徑， A、C是⊙O上的兩點，且AB=AC，AD與BC的延長線交于點E.
（1）求證：△ABD∽△AEB；
（2）若AD=1，DE=3，求BD的長.

閱讀理解：如圖1，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠B=90⁰，點P在BC邊上，當
∠APD=90⁰時，易證∽，從而得到，解答下列問題.
（1）模型探究1：如圖2，在四邊形ABCD中，點P在BC邊上，當∠B=∠C=∠APD時， 結(jié)論仍成立嗎? 試說明理由;
(2)拓展應用：如圖3，M為AB的中點，AE與BD交于點C，∠DME＝∠A＝∠B＝45°且DM交AC于F，ME交BC于G．AB＝，AF＝3，求FG的長．

如圖，邊長為4的等邊△AOB的頂點O在坐標原點，點A在x軸正半軸上，點B在第一象限.一動點P沿x軸以每秒1個單位長度的速度由點O向點A勻速運動，當點P到達點A時停止運動，設點P運動的時間是t秒.在點P的運動過程中，線段BP的中點為點E，將線段PE繞點P按順時針方向旋轉(zhuǎn)60º得PC.
（1）當點P運動到線段OA的中點時, 點C的坐標為     ；
（2）在點P從點O到點A的運動過程中,用含t的代數(shù)式表示點C的坐標；
（3）在點P從點O到點A的運動過程中，求出點C所經(jīng)過的路徑長.

已知，如圖，D為△ABC內(nèi)一點連接BD、AD，以BC為邊在△ABC外作∠CBE=∠ABD，∠BCE=∠BAD，BE、CE交于E，連接DE.
（1）求證：
（2）求證：△DBE∽△ABC.