如圖，P為正方形ABCD的對稱中心，A（0，3），B（1，0），直線OP交AB于N，DC于M，點H從原點O出發(fā)沿x軸的正半軸方向以1個單位每秒速度運動，同時，點R從O出發(fā)沿OM方向以個單位每秒速度運動，運動時間為t．

求：（1）C點的坐標為          ；
（2）當t為何值時，△ANO與△DMR相似？
（3）①求△HCR面積S與t的函數(shù)關系式；
②并求以A、B、C、R為頂點的四邊形是梯形時t的值及S的值．

在平面直角坐標系xOy中，點的坐標是，過點作直線垂直軸，點是直線上異于點的一點，且.過點作直線的垂線，點在直線上，且在直線的下方，.設點的坐標為.

（1）判斷△的形狀，并加以證明；
（2）直接寫出與的函數(shù)關系式（不要求寫自變量的取值范圍）；
（3）延長交（2）中所求函數(shù)的圖象于點.求證：.

如圖1，在△ABC中，AB＝AC，. 過點A作BC的平行線與∠ABC的平分線交于點D，連接CD．
     
（1）求證：；
（2）點為線段延長線上一點，將射線GC繞著點G逆時針旋轉(zhuǎn)，與射線BD交于點E．
①若，，如圖2所示，求證：；
②若，，請直接寫出的值（用含的代數(shù)式表示）．

操作：在△ABC中，AC＝BC＝2，∠C＝90°，將一塊等腰直角三角板的直角頂點放在斜邊AB的中點P處，將三角板繞點P旋轉(zhuǎn)，三角板的兩直角邊分別交射線AC、CB于D、E兩點（不包括射線的端點）.如圖1，2，3是旋轉(zhuǎn)三角板得到的圖形中的3種情況.
研究：

⑴三角板繞點P旋轉(zhuǎn)，觀察線段PD和PE之間有什么數(shù)量關系？并結(jié)合如圖2加以證明.
⑵三角板繞點P旋轉(zhuǎn)，△PBE是否能成為等腰三角形？若能，指出所有情況（即寫出△PBE為等腰三角形時CE的長；若不能，請說明理由.
⑶若將三角板的直角頂點放在斜邊AB上的M處，且AM∶MB＝1∶3，和前面一樣操作，試問線段MD和ME之間有什么數(shù)量關系？并結(jié)合如圖4加以證明.

為了測量路燈（OS）的高度,把一根長1.5米的竹竿（AB）豎直立在水平地面上,測得竹竿的影子（BC）長為1米,然后拿竹竿向遠離路燈方向走了3.2米（BB^‘）,再把竹竿豎立在地面上, 測得竹竿的影長（B^‘C^‘）為1.8米,求路燈離地面的高度.

如圖，在□ABCD中，過點B作BE⊥CD，垂足為E，連接AE．F為AE上一點，且∠BFE＝∠C．

⑴試說明：△ABF∽△EAD；
⑵若AB＝8，BE＝6，AD＝7，求BF的長．

在△ABC中，AD是高，矩形PQMN的頂點P、N分別在AB、AC上，QM在邊BC上.若BC=8cm，AD=6cm，且PN=2PQ，求矩形PQMN的周長.

如圖，在的正方形網(wǎng)格中，△OAB的頂點分別為O（0，0），A（1，2），B（2，-1）．

⑴以點O（0，0）為位似中心，按比例尺（OA︰OA’）1:3在位似中心的同側(cè)將△OAB放大為△OA’B’，放大后點A、B的對應點分別為A’、B’ ．畫出△OA’B’，并寫出點A’、B’的坐標：A’（           ），B’（           ）．
⑵在⑴中，若為線段上任一點，寫出變化后點的對應點的坐標（          ）．

如圖，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4．動點P從點A出發(fā)沿AC向終點C運動，同時動點Q從點B出發(fā)沿BA向點A運動，到達A點后立刻以原來的速度沿AB返回．點P、Q運動速度均為每秒1個單位長度，當點P到達點C時停止運動，點Q也同時停止．連接PQ，設運動時間為t（t >0）秒．

（1）求線段AC的長度；
（2）當點Q從點B向點A運動時（未到達A點），求△APQ的面積S關于t的函數(shù)關系式，并寫出t的取值范圍；
（3）伴隨著P、Q兩點的運動，線段PQ的垂直平分線為l：
①當l經(jīng)過點A時，射線QP交AD于點E，求AE的長；
②當l經(jīng)過點B時，求t的值．

為了測量路燈（OS）的高度，把一根長1.5米的竹竿（AB）豎直立在水平地面上,測得竹竿的影子（BC）長為1米，然后拿竹竿向遠離路燈方向走了3.2米（BB^‘），再把竹竿豎立在地面上，測得竹竿的影長（B^‘C^‘）為1.8米，求路燈離地面的高度.