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科目： 來源：競賽輔導：整數(shù)的基本知識4（解析版） 題型：解答題

已知兩個三位數(shù)abc，def，和abc+def能被37整除，證明：六位數(shù)abcdef也能被37整除．

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科目： 來源：競賽輔導：整數(shù)的基本知識4（解析版） 題型：解答題

今天是星期六，從今天起10²⁰⁰⁰天后的那一天是星期幾？

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科目： 來源：競賽輔導：整數(shù)的基本知識4（解析版） 題型：解答題

已知1999個自然數(shù)a₁，a₂，…，a₁₉₉₉滿足條件：其中任意兩數(shù)的和能被它們的差整除．現(xiàn)設n=a₁a₂…a₁₉₉₉，證明：n，n+a₁，n+a₂，…，n+a₁₉₉₉這2000個數(shù)仍滿足上述條件．

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科目： 來源：競賽輔導：整數(shù)的基本知識4（解析版） 題型：解答題

已知定理“若大于3的三個質數(shù)a、b、c滿足關系式2a+5b=c，則a+b+c是整數(shù)n的倍數(shù)”．試問：這個定理中的整數(shù)n的最大可能值是多少？請證明你的結論．

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科目： 來源：競賽輔導：整數(shù)的基本知識4（解析版） 題型：解答題

如果對一切x的整數(shù)值，x的二次三項式ax²+bx+c的值都是平方數(shù)（即整數(shù)的平方），
證明：（1）2a，2b，c都是整數(shù)；
（2）a，b，c都是整數(shù)，并且c是平方數(shù)；
（3）反過來，如（2）成立，是否對一切x的整數(shù)值，x的二次三項式ax²+bx+c的值都是平方數(shù)？

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科目： 來源：競賽輔導：整數(shù)的基本知識4（解析版） 題型：解答題

沿著圓周放著一些數(shù)，如果有依次相連的4個數(shù)a，b，c，d滿足不等式（a-d）（b-c）＞0，那么就可以交換b，c的位置，這稱為一次操作．
（1）若圓周上依次放著數(shù)1，2，3，4，5，6，問：是否能經(jīng)過有限次操作后，對圓周上任意依次相連的4個數(shù)a，b，c，d，都有（a-d）（b-c）≤0？請說明理由．
（2）若圓周上從小到大按順時針方向依次放著2003個正整數(shù)1，2，…，2003，問：是否能經(jīng)過有限次操作后，對圓周上任意依次相連的4個數(shù)a，b，c，d，都有（a-d）（b-c）≤0？請說明理由．