科目： 來源：第3章《圖形的相似》中考題集（18）：3.3 相似三角形的性質和判定（解析版） 題型：解答題

填空或解答：點B、C、E在同一直線上，點A、D在直線CE的同側，AB=AC，EC=ED，∠BAC=∠CED，直線AE、BD交于點F．
（1）如圖①，若∠BAC=60°，則∠AFB=______；如圖②，若∠BAC=90°，則∠AFB=______；
（2）如圖③，若∠BAC=α，則∠AFB=______（用含α的式子表示）；
（3）將圖③中的△ABC繞點C旋轉（點F不與點A、B重合），得圖④或圖⑤．在圖④中，∠AFB與∠α的數(shù)量關系是∠AFB=90°；在圖⑤中，∠AFB與∠α的數(shù)量關系是______．請你任選其中一個結論證明．

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如圖①，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=，D、E兩點分別在AC、BC上，且DE∥AB，CD=．將△CDE繞點C順時針旋轉，得到△CD′E′（如圖②，點D′、E′分別與點D、E對應），點E′在AB上，D′E′與AC相交于點M．
（1）求∠ACE′的度數(shù)；
（2）求證：四邊形ABCD′是梯形；
（3）求△AD′M的面積．

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如圖，在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠ABC=90°，AB=4，BC=6，∠DEF=90°，DE=EF=4．
（1）移動△DEF，使邊DE與AB重合（如圖1），再將△DEF沿AB所在直線向左平移，使點F落在AC上（如圖2），求BE的長；
（2）將圖2中的△DEF繞點A順時針旋轉，使點F落在BC上，連接AF（如圖3）．請找出圖中的全等三角形，并說明它們全等的理由．（不再添加輔助線，不再標注其它字母）

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如圖，在△ABC中，BC=1，AC=2，∠C=90度．
（1）在方格紙①中，畫△A′B′C′，使△A′B′C′∽△ABC，且相似比為2：1；
（2）若將（1）中△A′B′C′稱為“基本圖形”，請你利用“基本圖形”，借助旋轉、平移或軸對稱變換，在方格紙②中設計一個以點O為對稱中心，并且以直線l為對稱軸的圖案．

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如圖，在△ABC中，已知DE∥BC，AD=4，DB=8，DE=3．
（1）求的值；
（2）求BC的長．

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如圖，在銳角三角形ABC中，D為BC邊的中點，F(xiàn)為AB邊所在的直線上一點，連接CF交AD延長線于E，已知EC=CF，問：
（1）F點此時的位置；
（2）求的值．

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定義：若某個圖形可分割為若干個都與他相似的圖形，則稱這個圖形是自相似圖形．
探究：
（1）如圖甲，已知△ABC中∠C=90°，你能把△ABC分割成2個與它自己相似的小直角三角形嗎？若能，請在圖甲中畫出分割線，并說明理由．
（2）一般地，“任意三角形都是自相似圖形”，只要順次連接三角形各邊中點，則可將原三分割為四個都與它自己相似的小三角形．我們把△DEF（圖乙）第一次順次連接各邊中點所進行的分割，稱為1階分割（如圖1）；把1階分割得出的4個三角形再分別順次連接它的各邊中點所進行的分割，稱為2階分割（如圖2）…依次規(guī)則操作下去．n階分割后得到的每一個小三角形都是全等三角形（n為正整數(shù)），設此時小三角形的面積為S_N．
①若△DEF的面積為10000，當n為何值時，2＜S_n＜3？（請用計算器進行探索，要求至少寫出三次的嘗試估算過程）
②當n＞1時，請寫出一個反映S_n-1，S_n，S_n+1之間關系的等式．（不必證明）

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如圖，已知△ABC∽△A₁B₁C₁，相似比為k（k＞1），且△ABC的三邊長分別為a、b、c（a＞b＞c），△A₁B₁C₁的三邊長分別為a₁、b₁、c₁．
（1）若c=a₁，求證：a=kc；
（2）若c=a₁，試給出符合條件的一對△ABC和△A₁B₁C₁，使得a、b、c和a₁、b₁、c₁都是正整數(shù)，并加以說明；
（3）若b=a₁，c=b₁，是否存在△ABC和△A₁B₁C₁使得k=2？請說明理由．

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如圖①，分別以直角三角形ABC三邊為直徑向外作三個半圓，其面積分別用S₁，S₂，S₃表示，則不難證明S₁=S₂+S₃．
（1）如圖②，分別以直角三角形ABC三邊為邊向外作三個正方形，其面積分別用S₁，S₂，S₃表示，那么S₁，S₂，S₃之間有什么關系；（不必證明）
（2）如圖③，分別以直角三角形ABC三邊為邊向外作三個正三角形，其面積分別用S₁、S₂、S₃表示，請你確定S₁，S₂，S₃之間的關系并加以證明；
（3）若分別以直角三角形ABC三邊為邊向外作三個一般三角形，其面積分別用S₁，S₂，S₃表示，為使S₁，S₂，S₃之間仍具有與（2）相同的關系，所作三角形應滿足什么條件證明你的結論；
（4）類比（1），（2），（3）的結論，請你總結出一個更具一般意義的結論．