科目： 來源：第4章《相似三角形》常考題集（13）：4.3 兩個三角形相似的判定（解析版） 題型：解答題

如圖，在△ABC中，AB=AC=1，點D，E在直線BC上運動．設(shè)BD=x，CE=y．
（1）如果∠BAC=30°，∠DAE=105°，試確定y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）如果∠BAC=α，∠DAE=β，當(dāng)α，β滿足怎樣的關(guān)系時，（1）中y與x之間的函數(shù)關(guān)系式還成立？試說明理由．

科目： 來源：第4章《相似三角形》常考題集（13）：4.3 兩個三角形相似的判定（解析版） 題型：解答題

把兩塊全等的直角三角形ABC和DEF疊放在一起，使三角板DEF的銳角頂點D與三角板ABC的斜邊中點O重合，其中∠ABC=∠DEF=90°，∠C=∠F=45°，AB=DE=4，把三角板ABC固定不動，讓三角板DEF繞點O旋轉(zhuǎn)，設(shè)射線DE與射線AB相交于點P，射線DF與線段BC相交于點Q．
（1）如圖1，當(dāng)射線DF經(jīng)過點B，即點Q與點B重合時，易證△APD∽△CDQ．此時，AP•CQ=______；
（2）將三角板DEF由圖1所示的位置繞點O沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α．其中0°＜α＜90°，問AP•CQ的值是否改變？說明你的理由；
（3）在（2）的條件下，設(shè)CQ=x，兩塊三角板重疊面積為y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式．（圖2，圖3供解題用）

科目： 來源：第4章《相似三角形》�？碱}集（13）：4.3 兩個三角形相似的判定（解析版） 題型：解答題

（1）如圖1所示，在等邊△ABC中，點D是AB邊上的動點，以CD為一邊，向上作等邊△EDC，連接AE，求證：AE∥BC；
（2）如圖2所示，將（1）中等邊△ABC的形狀改成以BC為底邊的等腰三角形，所作△EDC相似于△ABC，請問仍有AE∥BC？證明你的結(jié)論．

科目： 來源：第4章《相似三角形》�？碱}集（13）：4.3 兩個三角形相似的判定（解析版） 題型：解答題

操作：在△ABC中，AC=BC=2，∠C=90°，將一塊等腰直角三角板的直角頂點放在斜邊AB的中點P處，將三角板繞點P旋轉(zhuǎn)，三角板的兩直角邊分別交射線AC、CB于D、E兩點．圖1，2，3是旋轉(zhuǎn)三角板得到的圖形中的3種情況．
研究：
（1）三角板繞點P旋轉(zhuǎn)，觀察線段PD和PE之間有什么數(shù)量關(guān)系，并結(jié)合圖2加以證明；
（2）三角板繞點P旋轉(zhuǎn)，△PBE是否能成為等腰三角形？若能，指出所有情況（即寫出△PBE為等腰三角形時CE的長）；若不能，請說明理由；
（3）若將三角板的直角頂點放在斜邊AB上的M處，且AM：MB=1：3，和前面一樣操作，試問線段MD和ME之間有什么數(shù)量關(guān)系？并結(jié)合圖4加以證明．

科目： 來源：第4章《相似三角形》�？碱}集（13）：4.3 兩個三角形相似的判定（解析版） 題型：解答題

如圖，矩形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，E、F分別是OA、OB的中點．
（1）求證：△ADE≌△BCF；
（2）若AD=4cm，AB=8cm，求CF的長．

科目： 來源：第4章《相似三角形》�？碱}集（13）：4.3 兩個三角形相似的判定（解析版） 題型：解答題

已知點E、F在△ABC的邊AB所在的直線上，且AE=BF，F(xiàn)H∥EG∥AC，F(xiàn)H、EG分別交邊BC所在的直線于點H、G．
（1）如圖1，如果點E、F在邊AB上，那么EG+FH=AC；
（2）如圖2，如果點E在邊AB上，點F在AB的延長線上，那么線段EG、FH、AC的長度關(guān)系是______；
（3）如圖3，如果點E在AB的反向延長線上，點F在AB的延長線上，那么線段EG、FH、AC的長度關(guān)系是______．
對（1）（2）（3）三種情況的結(jié)論，請任選一個給予證明．

科目： 來源：第4章《相似三角形》�？碱}集（13）：4.3 兩個三角形相似的判定（解析版） 題型：解答題

已知：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=8，點D在斜邊AB上，分別作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分別為E，F(xiàn)，得四邊形DECF，設(shè)DE=x，DF=y．
（1）用含y的代數(shù)式表示AE，得AE=______；
（2）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出x的取值范圍；
（3）設(shè)四邊形DECF的面積為S，求出S的最大值．

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已知：如圖，D是AC上一點，BE∥AC，BE=AD，AE分別交BD、BC于點F、G，∠1=∠2．
（1）圖中哪個三角形與△FAD全等？證明你的結(jié)論；
（2）探索線段BF、FG、EF之間的關(guān)系，并說明理由．

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操作：如圖，在正方形ABCD中，P是CD上一動點（與C、D不重合），使三角板的直角頂點與點P重合（含30度角的直角三角板），并且一條直角邊始終經(jīng)過點B，另一直角邊與正方形的某一邊所在直線交于點E．
探究：①觀察操作結(jié)果，哪一個三角形與△BPC相似，寫出你的結(jié)論，并說明理由；
②當(dāng)點P位于CD的中點時，你找到的三角形與△BPC的周長比和面積比分別是多少？

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如圖，在平行四邊形ABCD中，過B作BE⊥CD，垂足為點E，連接AE，F(xiàn)為AE上一點，且∠BFE=∠C．
（1）求證：△ABF∽△EAD；
（2）若AB=4，∠BAE=30°，求AE的長；
（3）在（1）（2）的條件下，若AD=3，求BF的長．（計算結(jié)果可含根號）