科目： 來源：2010年四川省綿陽市南山中學實驗學校自主招生考試數學試卷（解析版） 題型：填空題

科目： 來源：2010年四川省綿陽市南山中學實驗學校自主招生考試數學試卷（解析版） 題型：填空題

古希臘著名的畢達哥拉斯學派把1、3、6、10 …這樣的數稱為“三角形數”，而把1、4、9、16 …這樣的數稱為“正方形數”．從圖中可以發(fā)現，任何一個大于1的“正方形數”都可以看作兩個相鄰“三角形數”之和．下列等式中，符合這一規(guī)律的是    （填序號）
①13=3+10；②25=9+16；③36=15+21；④49=18+31．

科目： 來源：2010年四川省綿陽市南山中學實驗學校自主招生考試數學試卷（解析版） 題型：填空題

如圖，點P在雙曲線y=上，以P為圓心的⊙P與兩坐標軸都相切，E為y軸負半軸上的一點，PF⊥PE交x軸于點F，則OF-OE的值是    ．

科目： 來源：2010年四川省綿陽市南山中學實驗學校自主招生考試數學試卷（解析版） 題型：填空題

如圖，四邊形的兩條對角線AC、BD所成的角為α，AC+BD=10，當AC、BD的長等于    時，則四邊形ABCD的面積最大是    ．

科目： 來源：2010年四川省綿陽市南山中學實驗學校自主招生考試數學試卷（解析版） 題型：解答題

（1）計算：；
（2）先化簡，再選擇一個合適的x值代入求值：．

科目： 來源：2010年四川省綿陽市南山中學實驗學校自主招生考試數學試卷（解析版） 題型：解答題

某小區(qū)共有5000個家庭，為了了解轄區(qū)居民的住房情況，居民委員會隨機調查了本轄區(qū)內一定數量的家庭的住房面積，并將調查的數據繪制成直方圖和扇形圖．

請你根據以上不完整的直方圖和扇形圖提供的信息，解答下列問題：
（1）這次共調查了多少個家庭的住房面積扇形圖中的a、b的值分別是多少？
（2）補全頻率分布直方圖；
（3）被調查的家庭中，在未來5年內，計劃購買第二套住房的家庭統(tǒng)計如下表：

住房面積（m2）	≤40	40～70	70～100	100～130	130～160	＞160
	1

根據這次調查，估計本小區(qū)在未來的5年內，共有多少個家庭計劃購買第二套住房？

科目： 來源：2010年四川省綿陽市南山中學實驗學校自主招生考試數學試卷（解析版） 題型：解答題

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如圖，在平面直角坐標系中，A，B兩點的坐標分別為（0，-2），（0，8），以AB為一邊作正方形ABCD，再以CD為直徑的半圓P．設x軸交半圓P于點E，交邊CD于點F．
（1）求線段EF的長；
（2）連接BE，試判斷直線BE與⊙P的位置關系，并說明你的理由；
（3）直線BE上是否存在著點Q，使得以Q為圓心、r為半徑的圓，既與y軸相切又與⊙P外切？若存在，試求r的值；若不存在，請說明理由．

科目： 來源：2010年四川省綿陽市南山中學實驗學校自主招生考試數學試卷（解析版） 題型：解答題

有兩張完全重合的矩形紙片，小亮同學將其中一張繞點A順時針旋轉90°后得到矩形AMEF（如圖1），連接BD、MF，若此時他測得BD=8cm，∠ADB=30度．
（1）試探究線段BD與線段MF的關系，并簡要說明理由；
（2）小紅同學用剪刀將△BCD與△MEF剪去，與小亮同學繼續(xù)探究．他們將△ABD繞點A順時針旋轉得△AB₁D₁，AD₁交FM于點K（如圖2），設旋轉角為β（0°＜β＜90°），當△AFK為等腰三角形時，請直接寫出旋轉角β的度數；
（3）若將△AFM沿AB方向平移得到△A₂F₂M₂（如圖3），F₂M₂與AD交于點P，A₂M₂與BD交于點N，當NP∥AB時，求平移的距離是多少？

科目： 來源：2010年四川省綿陽市南山中學實驗學校自主招生考試數學試卷（解析版） 題型：解答題

定義{a，b，c}為函數y=ax²+bx+c的“特征數”．如：函數y=x²-2x+3的“特征數”是{1，-2，3}，函數y=2x+3的“特征數”是{0，2，3}，函數y=-x的“特征數”是{0，-1，0}
（1）將“特征數”是的函數圖象向下平移2個單位，得到一個新函數，這個新函數的解析式是y=；
（2）在（1）中，平移前后的兩個函數分別與y軸交于A、B兩點，與直線x=分別交于D、C兩點，判斷以A、B、C、D四點為頂點的四邊形形狀，請說明理由并計算其周長；
（3）若（2）中的四邊形與“特征數”是的函數圖象的有交點，求滿足條件的實數b的取值范圍．