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【題目】如圖，在平面直角坐標系中，已知點A的坐標是（4，0），并且OA＝OC＝4OB，動點P在過A，B，C三點的拋物線上．

（1）求拋物線的解析式；

（2）是否存在點P，使得△ACP是以AC為直角邊的直角三角形？若存在，求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，說明理由；

（3）過動點P作PE垂直于y軸于點E，交直線AC于點D，過點D作x軸的垂線．垂足為F，連接EF，以線段EF的中點G為圓心，以EF為直徑作⊙G，當⊙G最小時，求出點P的坐標．

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【題目】我們定義：如圖1，在△ABC看，把AB點繞點A順時針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜180°）得到AB'，把AC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)β得到AC'，連接B'C'．當α+β=180°時，我們稱△A'B'C'是△ABC的“旋補三角形”，△AB'C'邊B'C'上的中線AD叫做△ABC的“旋補中線”，點A叫做“旋補中心”．

特例感知：

（1）在圖2，圖3中，△AB'C'是△ABC的“旋補三角形”，AD是△ABC的“旋補中線”．

①如圖2，當△ABC為等邊三角形時，AD與BC的數(shù)量關(guān)系為AD= BC；

②如圖3，當∠BAC=90°，BC=8時，則AD長為 ．

猜想論證：

（2）在圖1中，當△ABC為任意三角形時，猜想AD與BC的數(shù)量關(guān)系，并給予證明．

拓展應(yīng)用

（3）如圖4，在四邊形ABCD，∠C=90°，∠D=150°，BC=12，CD=2，DA=6．在四邊形內(nèi)部是否存在點P，使△PDC是△PAB的“旋補三角形”？若存在，給予證明，并求△PAB的“旋補中線”長；若不存在，說明理由．

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【題目】小明投資銷售一種進價為每件20元的護眼臺燈．銷售過程中發(fā)現(xiàn)，每月銷售量y（件）與銷售單價x（元）之間的關(guān)系可近似的看作一次函數(shù)：y=﹣10x+500，在銷售過程中銷售單價不低于成本價，而每件的利潤不高于成本價的60%．

（1）設(shè)小明每月獲得利潤為w（元），求每月獲得利潤w（元）與銷售單價x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式，并確定自變量x的取值范圍．

（2）當銷售單價定為多少元時，每月可獲得最大利潤？每月的最大利潤是多少？

（3）如果小明想要每月獲得的利潤不低于2000元，那么小明每月的成本最少需要多少元？（成本=進價×銷售量）

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【題目】在平面直角坐標系中，橫坐標、縱坐標都為整數(shù)的點稱為整點．請你觀察圖中正方形A1B1C1D1，A2B2C2D2，A3B3C3D3…每個正方形四條邊上的整點的個數(shù)．按此規(guī)律推算出正方形A10B10C10D10四條邊上的整點共有______個．

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【題目】如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象經(jīng)過點（﹣1，2），且與X軸交點的橫坐標分別為x1，x2，其中﹣2＜x1＜﹣1，0＜x2＜1，下列結(jié)論：

①4a﹣2b+c＜0；②2a﹣b＜0；③a+c＜1；④b2+8a＞4ac，

其中正確的有（ ）

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個

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【題目】如圖：梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=9，BC=12，AB=6，在線段BC上任取一點P，連接DP，作射線PE⊥DP，PE與直線AB交于點E.

（1）試確定當CP=3時，點E的位置；

（2）若設(shè)CP=x，BE=y，試寫出y關(guān)于自變量x的函數(shù)關(guān)系式.

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【題目】如圖，已知AB是⊙O的直徑，C是⊙O上的點，連接AC、CB，過O作EO∥CB并延長EO到F，使EO＝FO，連接AF并延長，AF與CB的延長線交于D．求證：AE2＝FGFD．

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【題目】某商場以每件10元的價格購進一種商品，試銷中發(fā)現(xiàn)，這種商品每天的銷售量m（件）與每件的銷售價x（元）滿足一次函數(shù)，其函數(shù)圖像如圖所示．

（1）求商場每天銷售這種商品的銷售利潤y（元）與每件的銷售價x（元）之間的函數(shù)解析式；

（2）試判斷，每件商品的銷售價格在什么范圍內(nèi)，每天的銷售利潤隨著價格的提高而增加．

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【題目】在全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽中，將參賽兩個班學(xué)生的成績（得分均為整數(shù)）進行整理后分成五組，繪制出如下的頻率分布直方圖（如圖所示），已知圖中從左到右的第一、第三、第四、第五小組的頻率分別是0．25、0．15、0．10、0．10，第二組的頻數(shù)是40．

（1）第二小組的頻率是_____，并補全這個頻率分布直方圖；

（2）這兩個班參賽的學(xué)生人數(shù)是_________；

（3）這兩個班參賽學(xué)生的成績的中位數(shù)落在第______組內(nèi)．（不必說明理由）

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【題目】已知關(guān)于x的一元二次方程x2＋(2k－1)x＋k2＋1＝0，如果方程的兩根之和等于兩根之積，求k的值．

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