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【題目】綜合與實(shí)踐:矩形的旋轉(zhuǎn)

問題情境:

在綜合與實(shí)踐課上,老師讓同學(xué)們以矩形的旋轉(zhuǎn)為主題開展數(shù)學(xué)活動.具體要求:如圖1,將長與寬都相等的兩個矩形紙片ABCDEFGH疊放在一起,這時對角線ACEG互相重合.固定矩形ABCD,將矩形EFGHAC的中點(diǎn)O逆時針方向旋轉(zhuǎn),直到點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時停止,在此過程中開展探究活動.

操作發(fā)現(xiàn):

1)雄鷹小組初步發(fā)現(xiàn):在旋轉(zhuǎn)過程中,當(dāng)邊ABEF交于點(diǎn)M,邊CDGH交于點(diǎn)N,如圖2、圖3所示,則線段AMCN始終存在的數(shù)量關(guān)系是   

2)雄鷹小組繼續(xù)探究發(fā)現(xiàn):在旋轉(zhuǎn)開始后,當(dāng)兩個矩形紙片重疊部分為四邊形QMRN時,如圖3所示,四邊形QMRN為菱形,請你證明這個結(jié)論.

3)雄鷹小組還發(fā)現(xiàn)在問題(2)中的四邊形QMRN中∠MQN與旋轉(zhuǎn)角∠AOE存在著特定的數(shù)量關(guān)系,請你寫出這一關(guān)系,并說明理由.

實(shí)踐探究:

4)在圖3中,隨著矩形紙片EFGH的旋轉(zhuǎn),四邊形QMRN的面積會發(fā)生變化.若矩形紙片的長為,寬為,請你幫助雄鷹小組探究當(dāng)旋轉(zhuǎn)角∠AOE為多少度時,四邊形QMRN的面積最大?最大面積是多少?(直接寫出答案)

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【題目】隨著人們生活質(zhì)量的提高,凈水器已經(jīng)慢慢走入了普通百姓家庭,某電器公司銷售每臺進(jìn)價分別為 2000 元,1700 元的AB兩種型號的凈水器,下表是近兩周的銷售情況:

1)求A,B兩種型號的凈水器的銷售單價;

2)若電器公司準(zhǔn)備用不多于 54000 元的金額采購這兩種型號的凈水器共 30 臺,求 A種型號的凈水器最多能采購多少臺?

3)在(2)的條件下,公司銷售完這 30 臺凈水器能否實(shí)現(xiàn)利潤超過12800 元的目標(biāo)?若能,請給出相應(yīng)的采購方案;若不能,請說明理由.

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【題目】如圖,已知AB⊙O的直徑,AC⊙O的切線,OC⊙O于點(diǎn)D,BD的延長線交AC于點(diǎn)E

1)求證:∠1=∠CAD;

2)若AE=EC=2,求⊙O的半徑.

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【題目】為響應(yīng)國家的“一帶一路”經(jīng)濟(jì)發(fā)展戰(zhàn)略,樹立品牌意識,我市質(zhì)檢部門對A、B、C、D四個廠家生產(chǎn)的同種型號的零件共2000件進(jìn)行合格率檢測,通過檢測得出C廠家的合格率為95%,并根據(jù)檢測數(shù)據(jù)繪制了如圖1、圖2兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖.

(1)抽查D廠家的零件為   件,扇形統(tǒng)計(jì)圖中D廠家對應(yīng)的圓心角為   ;

(2)抽查C廠家的合格零件為   件,并將圖1補(bǔ)充完整;

(3)通過計(jì)算說明合格率排在前兩名的是哪兩個廠家;

(4)若要從A、B、C、D四個廠家中,隨機(jī)抽取兩個廠家參加德國工業(yè)產(chǎn)品博覽會,請用“列表法”或“畫樹形圖”的方法求出(3)中兩個廠家同時被選中的概率.

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【題目】尺規(guī)作圖

任務(wù)一:下面是小希設(shè)計(jì)的過直線外一點(diǎn)作已知直線的平行線的尺規(guī)作圖過程.

已知:直線l及直線外一點(diǎn)P

求作:直線PQ,使得PQl

作法:如圖

①在直線l上取一點(diǎn)O,連接OP,以點(diǎn)O為圓心,OP為半徑畫圓,交直線l與點(diǎn)A和點(diǎn)B;②連接AP,以點(diǎn)B為圓心,AP長為半徑在直線l上方畫弧交⊙O于點(diǎn)Q;

③作直線PQ

所以直線PQ就是所求作的直線.

根據(jù)小希設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖步驟完成下列問題:

1)在圖1中使用直尺和圓規(guī),補(bǔ)全圖形;(保留作圖痕跡)

2)證明:PQl

任務(wù)二:已知:直線l及直線l外一點(diǎn)M

請根據(jù)下列提供的數(shù)學(xué)原理,選擇其一,在圖2中使用直尺和圓規(guī)作直線MN,使得MNl.(保留作圖痕跡,不寫作法)

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【題目】直線y=kx+b與反比例函數(shù)y=(x0)的圖象分別交于點(diǎn) A(m,3)和點(diǎn)B(6,n),與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)C和點(diǎn)D.

(1)求直線AB的解析式;

(2)若點(diǎn)Px軸上一動點(diǎn),當(dāng)△COD與△ADP相似時,求點(diǎn)P的坐標(biāo).

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【題目】如圖是由邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格圖,線段AB,BC,BDDE的端點(diǎn)均在格點(diǎn)上,線段ABDE交于點(diǎn)F,則DF的長度為_____

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【題目】已知平面圖形S,點(diǎn)P、QS上任意兩點(diǎn),我們把線段PQ的長度的最大值稱為平面圖形S寬距.例如,正方形的寬距等于它的對角線的長度.

1)寫出下列圖形的寬距:

①半徑為1的圓:   ;

②如圖1,上方是半徑為1的半圓,下方是正方形的三條邊的窗戶形   ;

2)如圖2,在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)A(﹣1,0)、B1,0),C是坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn),連接AB、BCCA所形成的圖形為S,記S的寬距為d

①若d2,求點(diǎn)C所在的區(qū)域的面積;

②若點(diǎn)C在⊙M上運(yùn)動,⊙M的半徑為1,圓心M在過點(diǎn)(0,2)且與y軸垂直的直線上.對于⊙M上任意點(diǎn)C,都有5≤d≤8,直接寫出圓心M的橫坐標(biāo)x的取值范圍.

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【題目】如圖,拋物線yx2+bx+c與直線yx+3分別相交于A,B兩點(diǎn),且此拋物線與x軸的一個交點(diǎn)為C,連接AC,BC.已知A(0,3),C(﹣3,0).

(1)求拋物線的解析式;

(2)在拋物線對稱軸l上找一點(diǎn)M,使|MBMC|的值最大,并求出這個最大值;

(3)點(diǎn)Py軸右側(cè)拋物線上一動點(diǎn),連接PA,過點(diǎn)PPQPAy軸于點(diǎn)Q,問:是否存在點(diǎn)P使得以A,PQ為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似?若存在,請求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

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【題目】根據(jù)相似多邊形的定義,我們把四個角分別相等,四條邊成比例的兩個凸四邊形叫做相似四邊形.相似四邊形對應(yīng)邊的比叫做相似比.

1)某同學(xué)在探究相似四邊形的判定時,得到如下三個命題,請判斷它們是否正確(直接在橫線上填寫).

①條邊成比例的兩個凸四邊形相似;( 命題)

②三個角分別相等的兩個凸四邊形相似;( 命題)

③兩個大小不同的正方形相似.( 命題)

2)如圖1,在四邊形ABCD和四邊形A1B1C1D1中,ABCA1B1C1,BCDB1C1D1,,求證:四邊形ABCD與四邊形A1B1C1D1相似.

3)如圖2,四邊形ABCD中,ABCD,ACBD相交于點(diǎn)O,過點(diǎn)OEFAB分別交AD,BC于點(diǎn)EF.記四邊形ABFE的面積為S1,四邊形EFDE的面積為S2,若四邊形ABFE與四邊形EFCD相似,求的值.

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同步練習(xí)冊答案