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【題目】如圖1,在平面直角坐標系中,拋物線y=x2+x+3與x軸交于A、B兩點(點A在點B的右側),與y軸交于點C,過點C作x軸的平行線交拋物線于點P.連接AC.
(1)求點P的坐標及直線AC的解析式;
(2)如圖2,過點P作x軸的垂線,垂足為E,將線段OE繞點O逆時針旋轉得到OF,旋轉角為α(0°<α<90°),連接FA、FC.求AF+CF的最小值;
(3)如圖3,點M為線段OA上一點,以OM為邊在第一象限內(nèi)作正方形OMNG,當正方形OMNG的頂點N恰好落在線段AC上時,將正方形OMNG沿x軸向右平移,記平移中的正方形OMNG為正方形O′MNG,當點M與點A重合時停止平移.設平移的距離為t,正方形O′MNG的邊MN與AC交于點R,連接O′P、O′R、PR,是否存在t的值,使△O′PR為直角三角形?若存在,求出t的值;若不存在,請說明理由.
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【題目】數(shù)學不僅是一門學科,也是一種文化,即數(shù)學文化.數(shù)學文化包括數(shù)學史、數(shù)學美和數(shù)學應用等多方面.古時候,在某個王國里有一位聰明的大臣,他發(fā)明了國際象棋,獻給了國王,國王從此迷上了下棋,為了對聰明的大臣表示感謝,國王答應滿足這位大臣的一個要求.大臣說:“就在這個棋盤上放一些米粒吧.第格放粒米,第格放粒米,第格放粒米,然后是粒、粒、粒······一只到第格.”“你真傻!就要這么一點米粒?”國王哈哈大笑.大臣說:“就怕您的國庫里沒有這么多米!”國王的國庫里真沒有這么多米嗎?題中問題就是求是多少?請同學們閱讀以下解答過程就知道答案了.
設,
則
即:
事實上,按照這位大臣的要求,放滿一個棋盤上的個格子需要粒米.那么到底多大呢?借助計算機中的計算器進行計算,可知答案是一個位數(shù): ,這是一個非常大的數(shù),所以國王是不能滿足大臣的要求.請用你學到的方法解決以下問題:
我國古代數(shù)學名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題:“遠望巍巍塔七層,紅光點點倍加增,共燈三百八十一,請問尖頭幾盞燈?”意思是:一座層塔共掛了盞燈,且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的倍,則塔的頂層共有多少盞燈?
計算:
某中學“數(shù)學社團”開發(fā)了一款應用軟件,推出了“解數(shù)學題獲取軟件激活碼”的活動.這款軟件的激活碼為下面數(shù)學問題的答案:
已知一列數(shù):,其中第一項是,接下來的兩項是,再接下來的三項是,以此類推,求滿足如下條件的所有正整數(shù),且這一數(shù)列前項和為的正整數(shù)冪.請直接寫出所有滿足條件的軟件激活碼正整數(shù)的值.
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【題目】在平行四邊形ABCD中,點E是AD邊上的點,連接BE.
(1)如圖1,若BE平分∠ABC,BC=8,ED=3,求平行四邊形ABCD的周長;
(2)如圖2,點F是平行四邊形外一點,FB=CD.連接BF、CF,CF與BE相交于點G,若∠FBE+∠ABC=180°,點G是CF的中點,求證:2BG+ED=BC.
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【題目】“一帶一路”為我們打開了交流、合作的大門,也為沿線各國在商貿(mào)等領域提供了更多的便捷,2018年11月5日至10日,首屆中國國際進口博覽會在國家會展中心(上海)舉辦,據(jù)哈外貿(mào)商會發(fā)布消息,博覽會期間,哈Paseka公司與重慶某國際貿(mào)易公司簽訂了供應蜂蜜合同:哈Paseka公司于2019年6月前分期分批向重慶某國際貿(mào)易公司供給優(yōu)質(zhì)蜂蜜共3000萬件,該公司順應新時代購物流,打算分線上和線下兩種方式銷售.
(1)若計劃線上銷售量不低于線下銷售量的25%,求該公司計劃在線下銷售量最多為多少萬件?
(2)該公司在12月上旬銷售優(yōu)質(zhì)蜂蜜共240萬件,且線上線下銷售單件均為100元/件.12月中旬決定線上銷售單價下調(diào)m%,線下銷售單價不變,在這種情況下,12月中旬銷售總量比上旬增加了m%,且中旬線上銷售量占中旬總銷量的,結果中旬銷售總金額比上旬銷售總金額提高了m%.求m的值.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,邊長為3的正方形ABCD在第一象限內(nèi),AB∥x軸,點A的坐標為(5,4)經(jīng)過點O、點C作直線l,將直線l沿y軸上下平移.
(1)當直線l與正方形ABCD只有一個公共點時,求直線l的解析式;
(2)當直線l在平移過程中恰好平分正方形ABCD的面積時,直線l分別與x軸、y軸相交于點E、點F,連接BE、BF,求△BEF的面積.
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【題目】重慶八中建校80周年,在體育、藝術、科技等方面各具特色,其中排球選修課是體育特色項目之一.體育組老師為了了解初一年級學生的訓練情況,隨機抽取了初一年級部分學生進行1分鐘墊球測試,并將這些學生的測試成績(即1分鐘的墊球個數(shù),且這些測試成績都在60~180范圍內(nèi))分段后給出相應等級,具體為:測試成績在60~90范圍內(nèi)的記為D級(不包括90),90~120范圍內(nèi)的記為C級(不包括120),120~150范圍內(nèi)的記為B級(不包括150),150~180范圍內(nèi)的記為A級.現(xiàn)將數(shù)據(jù)整理繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖,其中在扇形統(tǒng)計圖中A級對應的圓心角為90°,請根據(jù)圖中的信息解答下列問題:
(1)在這次測試中,一共抽取了 名學生,并補全頻數(shù)分布直方圖:在扇形統(tǒng)計圖中,D級對應的圓心角的度數(shù)為 度.
(2)王攀同學在這次測試中1分鐘墊球140個.他為了了解自己墊球個數(shù)在年級排名的大致情況,他把成績?yōu)?/span>B等的全部同學1分鐘墊球人數(shù)做了統(tǒng)計,其統(tǒng)計結果如表:
成績(個) | 120 | 125 | 130 | 135 | 140 | 145 |
人數(shù)(頻數(shù)) | 2 | 8 | 3 | 10 | 9 | 8 |
(墊球個數(shù)計數(shù)原則:120<墊球個數(shù)≤125記為125,125<墊球個數(shù)≤130記為130,依此類推)請你估計王攀同學的1分鐘墊球個數(shù)在年級排名的大致情況.
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【題目】2018年10月21日,重慶市第八屆中小學藝術工作坊在渝北區(qū)空港新城小學體育館開幕,來自全重慶市各個區(qū)縣共二十多個工作坊集中展示了自己的藝術特色.組委會準備為現(xiàn)場展示的參賽選手購買三種紀念品,其中甲紀念品5元/件,乙紀念品7元/件,丙紀念品10元/件.要求購買乙紀念品數(shù)量是丙紀念品數(shù)量的2倍,總費用為346元.若使購買的紀念品總數(shù)最多,則應購買紀念品共_____件.
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【題目】一輛快車從甲地駛往乙地,一輛慢車從乙地駛往甲地,兩車同時出發(fā),勻速行駛.設行駛的時間為x(時),兩車之間的距離為y(千米),圖中的折線表示從兩車出發(fā)至快車到達乙地過程中y與x之間的函數(shù)關系.已知兩車相遇時快車比慢車多行駛60千米.若快車從甲地到達乙地所需時間為t時,則此時慢車與甲地相距_____千米.
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【題目】如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,AB=10.現(xiàn)分別以點A、點B為圓心,以大于AB相同的長為半徑作弧,兩弧相交于點M和點N,作直線MN交AB于點D,交BC于點E.若將△BDE沿直線MN翻折得△B′DE,使△B′DE與△ABC落在同一平面內(nèi),連接B′E、B′C,則△B′CE的周長為_____.
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