Question

小明設(shè)計(jì)了一個(gè)公廁中的自動(dòng)沖刷廁所的水箱．這種水箱能把自來(lái)水管持續(xù)供給的較小流量的水儲(chǔ)備到一定量后，自動(dòng)開(kāi)啟放水閥，這樣就可用較大水量沖刷便池中的污物．圖6為這種水箱的結(jié)構(gòu)示意圖，已知水箱底為邊長(zhǎng)l=40cm的正方形，A是一直徑d₁=8cm的圓形放水閥門，其質(zhì)量和厚度均可忽略不計(jì)，且恰好能將排水管口及連桿與浮子B相連，連桿的長(zhǎng)度h₀=10cm．浮子B是一外部直徑d₂=8cm、高H=30cm、質(zhì)量m=0.4kg的空心圓柱體，設(shè)水箱每次放水都能將水箱中的水全部放凈，試通過(guò)計(jì)算說(shuō)明：
（1）水箱體至少多高，水才不會(huì)從水箱上部溢出？
（2）如果自來(lái)水管的流量為0.2m³/h，該水箱某次放水結(jié)束到下次開(kāi)始放水的時(shí)間間隔為幾分鐘？

Answer 1

分析：（1）浮子B對(duì)閥門A產(chǎn)生一個(gè)向上的拉力，這個(gè)拉力使浮子A向上運(yùn)動(dòng)造成閥門A打開(kāi)，水向外流出．
①以浮子B為研究對(duì)象，對(duì)其受力分析：其受到的向下的重力、連桿對(duì)其向下拉力和向上的浮力．其處于平衡狀態(tài)，從而可以得到三者的關(guān)系．進(jìn)而可以得到連桿拉力和水的高度的關(guān)系式；
②以閥門A為研究對(duì)象，它是一個(gè)以左端為支點(diǎn)的杠桿．動(dòng)力為連桿對(duì)其向上的拉力，動(dòng)力臂等于其直徑；阻力為水對(duì)它向下的壓力，其作用點(diǎn)在其圓心上，因此阻力臂為其半徑．根據(jù)杠桿的平衡條件可以得到連桿拉力和水的高度的關(guān)系式．
兩者聯(lián)立可以求得水的高度．
（2）當(dāng)水箱內(nèi)的水高度達(dá)到設(shè)計(jì)高度時(shí)，水箱內(nèi)的水就向外排出，因此水管中流出的水的體積等于水箱內(nèi)水達(dá)到設(shè)計(jì)高度時(shí)的體積時(shí)，所用的時(shí)間就是間隔的放水時(shí)間．

解答：解：（1）已知：h₀=10cm=0.1m，d₂=8cm=0.08m，m=0.4kg，ρ_水=10³kg/m³，d₁=8cm=0.08m，g=10N/kg．
設(shè)水箱中水面高度為h時(shí)，連桿對(duì)閥門A的拉力為T，此時(shí)閥門剛好可被拉開(kāi)．
此時(shí)浮子B浸入水中的深度是：h-h₀，
排開(kāi)的水的體積是：V_排=S（h-h₀）=π（

d2

2

）²（h-h₀）
受到的浮力：F_浮=ρ_水gπ（

d2

2

）²（h-h₀）
對(duì)浮子B根據(jù)平衡條件有：mg+T=F_浮=ρ_水gπ（

d2

2

）²（h-h₀）…①
即：0.4kg×10N/kg+T=10³kg/m³×10N/kg×π×（

0.08m

2

）²（h-0.1m）…②
對(duì)放水閥門A根據(jù)杠桿的平衡條件有：Td₁=ρ_水gπ（

d1

2

）²h

d1

2

即：T×0.08m=10³kg/m³×10N/kg×π×（

0.08m

2

）²×h×0.04m …③
聯(lián)立②③式可解得：h≈0.36m．
所以水箱體的高度要至少為0.36m．
（2）已知：邊長(zhǎng)l=40cm，Q=0.2m³/h．
當(dāng)水位達(dá)到設(shè)計(jì)高度時(shí)，水箱內(nèi)水的體積為：V_箱=l²h=（0.4m）²×0.36m=0.058m³          
自來(lái)水管的流量Q=0.2m³/h  蓄滿一箱水所用時(shí)間
t=

V箱

Q

=

0.58m3

0.2m3/h

=0.29h=17.4min                        
所以，水箱放水的時(shí)間間隔約17.4min．
答：：（1）水箱體至少0.36m，水才不會(huì)從水箱上部溢出．
（2）如果自來(lái)水管的流量為0.2m³/h，該水箱某次放水結(jié)束到下次開(kāi)始放水的時(shí)間間隔為17.4分鐘．

點(diǎn)評(píng)：此題綜合了二力平衡的條件、液體壓強(qiáng)的計(jì)算、阿基米德原理、杠桿的平衡條件等多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，綜合性較強(qiáng)，題目的難度較大．
在此題的第一問(wèn)中，兩次確定研究對(duì)象，得到關(guān)于連桿拉力和水的深度的關(guān)系式是解決此題的難點(diǎn)．