Question

12．一個半球形漏斗緊貼桌面放置，現(xiàn)從位于漏斗最高處的孔向內(nèi)注水，如圖所示，當漏斗內(nèi)的水面剛好達到孔的位置時，漏斗開始浮起，水開始從下面流出．若漏斗半徑為R，而水的密度為ρ，試求漏斗的質(zhì)量為$\frac{1}{3}$ρπR³．

Answer 1

分析 以水和漏斗的整體為研究對象，漏斗浮起時，桌面受到的壓強是一定的；
根據(jù)壓強的定義式p=$\frac{F}{S}$可知，對桌面的壓力F等于水的重力和漏斗的重力之和，據(jù)此可以列出等式；
根據(jù)液體壓強計算公式p=ρgh列等式；二式聯(lián)立得解．

解答 解：向漏斗內(nèi)注水，當漏斗內(nèi)的水面剛好達到孔的位置時，漏斗開始浮起，根據(jù)力的平衡條件可知，水對桌面的壓力等于漏斗的重力和水的重力之和，F(xiàn)=G_漏斗+G_水，
漏斗是一個半球，排開水的體積等于自身的體積，
即V_水=V=$\frac{1}{2}$×$\frac{4π{R}^{3}}{{3}_{\;}}$=$\frac{2π{R}^{3}}{3}$，
水的重力G_水=m_水g=ρg×$\frac{2π{R}^{3}}{3}$，
漏斗的重力G_漏斗=m_漏斗g，
即水對桌面的壓力F=m_漏斗g+ρg×$\frac{2π{R}^{3}}{3}$，
所以水對桌面的壓強為：p=$\frac{F}{S}$=$\frac{{m}_{漏斗}g+ρg×\frac{2π{R}^{3}}{3}}{π×{R}^{2}}$①；
根據(jù)液體壓強公式p=ρgh，水對桌面的壓強p=ρgR②；
水對桌面的壓強一定，由①②式得：
$\frac{{m}_{漏斗}g+ρg×\frac{2π{R}^{3}}{3}}{π×{R}^{2}}$=ρgR，
解得：m_漏斗=$\frac{1}{3}$ρπR³．
故答案為：$\frac{1}{3}$ρπR³．

點評 本題綜合考查了重力公式、密度公式、體積公式和力的平衡知識的應用，要知識球的體積公式，屬于難度偏大的題目．