Question

13．如圖所示，置于水平地面上的薄壁輕質(zhì)圓柱形容器內(nèi)盛有深為3H的水，容器的高為4H、底面積為5S．
①求體積為4×10^-3米³水的質(zhì)量m_水．
②現(xiàn)有三個大小不同的圓柱體合金塊（其規(guī)格如表所示）可選，請選擇其中一個輕放入容器內(nèi)并滿足下列要求．
（a）圓柱體放入容器后，要求水對容器底面的壓強最大．則應選擇序號為乙的圓柱體，求出此時水對容器底面的壓強p_水．
（b）圓柱體放入容器后，要求容器對水平地面的壓強最大，則應選擇序號為丙的圓柱體，求出此時容器對水平地面壓強p_容．

序號	甲	乙	丙
密度	3ρ水
高度	H	3H	6H
底面積	3S	2S	S

Answer 1

分析 ①已知水的體積、密度，由m=ρV求解；
②（a）根據(jù)p=ρ_水gh，要求水對容器底面的壓強最大，即液體深度最大，即液面上升的最高，物體排開液體的體積最大；
由表中數(shù)據(jù)，根據(jù)物體的浮沉條件，圓柱體均下沉，分別求出乙、丙兩圓柱體排開水的體積，根據(jù)△h=$\frac{{V}_{排}}{5S}$求出液面上升的高度，比較大小，從而確定將乙、丙放入水中時容器內(nèi)水的深度，最終求出水對容器底面的壓強p_水；
（b）圓柱體放入容器后，容器對水面地面的壓強為固體產(chǎn)生的，p_容=$\frac{{F}_{容}}{5S}$=$\frac{{G}_{水}+{G}_{柱體}}{5S}$，要求容器對水平地面的壓強最大，要求容器內(nèi)水的重力最大，且圓柱體的重力最大，在②的基礎上，由表中數(shù)據(jù)確定自身重力最大且放入容器中沒有水從容器中溢出的圓柱體，求出對地面的最大壓強．

解答 解：①由ρ=$\frac{m}{V}$得，容器中水的質(zhì)量：
m_水=ρV=1×10³kg/m³×4×10^-3m³=4kg；
②（a）圓柱體放入容器后，要求水對容器底面的壓強最大，根據(jù)p=ρ_水gh可知，液體的深度應最大，即液面上升的最高，則物體排開水的體積最大；
由上表數(shù)據(jù)知，甲圓柱體的高度為H，底面積為3S，乙物體的高度為3H，底面積為2S，丙物體的高為6H，底面積為S，根據(jù)圓柱體的體積公式可知，乙、丙兩圓柱體的體積相等，因圓柱體的密度大于水的密度，故放入水中時，圓柱體將下沉，
由于最初容器中水面的高度為3H，而乙物體的高度為3H，所以乙物體放入容器中時，乙將浸沒在水中，則排開水的體積等于物體的體積，
則V_排乙=3H×2S=6HS，
水面上升的高度：
△h_乙=$\frac{{V}_{排乙}}{5S}$=$\frac{6HS}{5S}$=$\frac{6}{5}$H＞H（由題意可知，最初水面離容器上口的高度為H），
故水將溢出，此時水的深度為4H，
將丙放入水中時，排開水的體積：V_排丙=3H×S=3HS，
液面上升的高度：
△h_丙=$\frac{{V}_{排丙}}{5S-S}$=$\frac{3HS}{4S}$=$\frac{3}{4}$H＜H，
水沒有溢出，水的深度為：
$\frac{3}{4}$H+3H=3.75H，
所以將乙圓柱體放入水中時，水對容器底部產(chǎn)生的壓強最大：
p_水=ρ_水gh=ρ_水g×4H=4ρ_水gH；
（b）薄壁輕質(zhì)圓柱形容器，即不計容器本身的重力，圓柱體放入容器后，容器對水平地面的壓強為固體產(chǎn)生的，p_容=$\frac{{F}_{容}}{5S}$=$\frac{{G}_{水}+{G}_{柱體}}{5S}$，
要求容器對水平地面的壓強最大，即分子最大，
由表中數(shù)據(jù)可知，根據(jù)G=mg=ρVg，易知乙、丙物體的重力最大且相等，由（a）知，將丙物體放入水中時水沒有溢出，而將乙放入水時有水溢出，故將丙物體放入水中時，容器對地面的壓力最大、壓強最大，
所以此時丙容器對水平地面的最大壓強為：
p_容=$\frac{{F}_{容}}{5S}$=$\frac{{G}_{水}{+G}_{丙}}{5S}$=$\frac{{m}_{水}g+{m}_{丙}g}{5S}$=$\frac{{ρ}_{水×}3H×5S×g+3{ρ}_{水}×6H×S×g}{5S}$=6.6ρ_水gH．
答：①體積為4×10^-3米³水的質(zhì)量為4kg；
②（a）乙；出此時水對容器底面的壓強為4ρ_水gH；
（b）丙；求出此時容器對水平地面壓強6.6ρ_水gH．

點評 本題考查固體、液體壓強公式的應用、物體的浮沉條件，關鍵是結合題目條件正確確定有最大壓強的條件，難度較大，為壓軸題．