Question

某科技小組設計的提升重物的裝置如圖甲所示．

圖中水平桿CD與豎直桿EH、DI組合成支架固定在水平地面上．小亮站在地面上通過滑輪組提升重物，滑輪組由動滑輪Q和安裝在水平桿CD上的兩個定滑輪組成．小亮以拉力F₁勻速豎直提升物體A的過程中，物體A的速度為υ₁，滑輪組的機械效率為η_A．小亮以拉力F₂勻速豎直提升物體B的過程中，物體B的速度為υ₂，滑輪組的機械效率為η_B．拉力F₁、F₂做的功隨時間變化的圖象分別如圖乙中①、②所示．已知：υ₁=3υ₂，物體A的體積為V_A，物體B的體積為V_B，且3V_A=2V_B，物體A的密度為ρ_A，物體B的密度為ρ_B，且8ρ_A=7ρ_B．（不計繩的質量，不計滑輪與軸的摩擦）求：機械效率η_B與η_A之差．

Answer 1

分析：由滑輪組的結構可以看出，承擔物重的繩子股數n=2，
根據題目提供的兩物體的體積關系和密度關系，利用密度公式和重力公式物重G_A和G_B關系；
不計繩的質量、不計滑輪與軸的摩擦，利用F=

1

2

（G_物+G_輪）求拉力F₁和F₂的大��；根據題中W-t圖象提供的信息可求，拉力F₁和F₂的做功功率P₁和P₂，又知道運動速度關系，利用P=

W

t

=

Fs

t

=Fv求出拉力的大小關系；從而得出動滑輪和物重G_A和G_B關系；再利用效率公式求兩種情況下的機械效率求差值．

解答：解：∵不計繩的質量，不計滑輪與軸的摩擦，
∴拉動物體A和物體B的拉力：
F_A=

1

2

（G_A+G_輪），F_B=

1

2

（G_B+G_輪），----------①
由題中W-t圖象可知：
P_A=

W1

t1

=

270J

3s

=90W，
P_B=

W2

t2

=

90J

2s

=45W，
∵P=

W

t

=

Fs

t

=Fv，υ₁=3υ₂，
∴拉力做功功率：

PA

PB

=

FA×2v1

FB×2v2

，
∴

FA

FB

=

2

3

，-----------------②
由①②解得：

GA+G動

GB+G動

=

2

3

，---------------③
由G=mg=ρvg、3v_A=2v_B、8ρ_A=7ρ_B，解得：

GA

GB

=

7

12

，---------------------④
由③④解得：
G_動=

3

7

G_A，G_動=

1

4

G_B，
η_A=

W有A

W總A

=

GAh

(GA+G動)h

=

GA

GA+ 3 7 GA

=70%，
η_B=

W有B

W總B

=

GB

(GB+ 1 4 GB)h

=

GB

GB+ 1 4 GB

=80%，
η_B-η_A=80%-70%=10%
答：機械效率η_B與η_A之差為10%．

點評：本題關鍵：一是n的確定（直接從動滑輪上引出的繩子股數），二是不計摩擦和繩重時，F=

1

2

（G_物+G_輪），三是不計摩擦和繩重時，W_額=G_輪h．