Question

如圖所示，一個(gè)底部非常薄的圓柱形杯子，裝滿密度為ρ₁的液體，恰好浮在密度分別為ρ₁和ρ₂的兩種不相容液體的分界面間，下方液體密度ρ₂，且ρ₂＞ρ₁．
已知杯子的外徑為2R，內(nèi)徑為2r，杯子浸入下方液體的深度為h．若杯底出現(xiàn)一個(gè)小洞，密度為ρ₂的液體將經(jīng)小洞流入杯里，求當(dāng)液體不再經(jīng)小洞流入杯里時(shí)，圓柱形杯子浸入密度為ρ₂的液體的深度．

Answer 1

分析：設(shè)杯子的質(zhì)量為m，杯子的高度為L(zhǎng)，液體不再經(jīng)小洞流入杯里時(shí)，圓柱形杯子浸入密度為ρ₂的液體的深度H
（1）當(dāng)杯子浮在兩種液體的分界面上，杯子在上面液體部分的體積為V₁，杯子在下面液體部分的體積為V₂，根據(jù)物體的漂浮條件得出受到的浮力（方程①）：F_浮=ρ₁gV₁+ρ₂gV₂=ρ₁gπR²（L-h）+ρ₂gπR²h；
（2）當(dāng)杯底出現(xiàn)一個(gè)小洞，密度為ρ₂的液體將經(jīng)小洞流入杯里，將上面的液體排出去，這個(gè)過程一直進(jìn)行到當(dāng)杯內(nèi)兩種液體的分界面與杯外兩種液體的分界面相平，此時(shí)杯子也處于平衡狀態(tài)，根據(jù)物體的漂浮條件得出受到的浮力（方程②）：mg+ρ₁gπr²（L-H）+ρ₂gπr²H=ρ₁gπR²（L-H）+ρ₂gπR²H；
兩方程聯(lián)立方程組解得當(dāng)液體不再經(jīng)小洞流入杯里時(shí)，圓柱形杯子浸入密度為ρ₂的液體的深度H的大�。�

解答：解：設(shè)杯子的質(zhì)量為m，杯子的高度為L(zhǎng)，杯內(nèi)液體的質(zhì)量為m₁，浮力為F_浮，則mg+m₁g=F_浮；
杯子浮在兩種液體的分界面上，杯子在上面液體部分的體積（含杯壁）為V₁，杯子在下面液體部分的體積（含杯壁）為V₂，那么杯子受到的浮力：F_浮=ρ₁gV₁+ρ₂gV₂=ρ₁gπR²（L-h）+ρ₂gπR²h，根據(jù)平衡條件可得：
mg+ρ₁gπr²L=ρ₁gπR²（L-h）+ρ₂gπR²h；--------------①
當(dāng)杯底出現(xiàn)一個(gè)小洞，密度為ρ₂的液體將經(jīng)小洞流入杯里，將上面的液體排出去，這個(gè)過程一直進(jìn)行到當(dāng)杯內(nèi)兩種液體的分界面與杯外兩種液體的分界面相平，此時(shí)杯子也處于平衡狀態(tài)，所以可以列出與上面類似的等式：
mg+ρ₁gπr²（L-H）+ρ₂gπr²H=ρ₁gπR²（L-H）+ρ₂gπR²H；------------②
①-②得：
ρ₁gπr²L-ρ₁gπr²（L-H）-ρ₂gπr²H=ρ₁gπR²（L-h）+ρ₂gπR²h-ρ₁gπR²（L-H）-ρ₂gπR²H，
ρ₁gπr²L-ρ₁gπr²L+ρ₁gπr²H-ρ₂gπr²H=ρ₁gπR²L-ρ₁gπR²h+ρ₂gπR²h-ρ₁gπR²L+ρ₁gπR²H-ρ₂gπR²H，
ρ₁gπr²H-ρ₂gπr²H=ρ₂gπR²h-ρ₁gπR²h+ρ₁gπR²H-ρ₂gπR²H，
ρ₁r²H-ρ₂r²H=ρ₂R²h-ρ₁R²h+ρ₁R²H-ρ₂R²H，
ρ₁r²H-ρ₂r²H-ρ₁R²H+ρ₂R²H=ρ₂R²h-ρ₁R²h，
解得：H=

R2

R2-r2

h．
答：當(dāng)液體不再經(jīng)小洞流入杯里時(shí)，圓柱形杯子浸入密度為ρ₂的液體的深度為

R2

R2-r2

h．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了學(xué)生對(duì)阿基米德原理和物體浮沉條件的掌握和運(yùn)用，本題關(guān)鍵：知道當(dāng)杯底出現(xiàn)一個(gè)小洞，密度為ρ₂的液體將經(jīng)小洞流入杯里，將上面的液體排出去，一直進(jìn)行到當(dāng)杯內(nèi)兩種液體的分界面與杯外兩種液體的分界面相平．