Question

12．“曹沖稱象”是婦孺皆知的故事．小邦和小冊仿效曹沖，制作了一臺“浮力稱”，用來稱量物體的質(zhì)量．如圖所示，浮力稱由浮體和外筒構(gòu)成，浮體包括秤盤和長度為L₀、底面積為S₀的圓柱體，浮體質(zhì)量m₀=0.23kg，外筒是足夠高的、底面積為S的圓柱形玻璃容器，容器器壁厚度可忽略不計．向外筒中加入適量水，將浮體豎直放入水中，浮體漂浮在水面上，被稱物體放在秤盤上，測出浮體的圓柱體浸入水中的深度就可以“稱”出物體的質(zhì)量．已知水的密度為ρ．
（1）當(dāng)秤盤上不放物體時，浮體所受到的浮力為2.3N（g=10N/kg）．
（2）當(dāng)秤盤上不放物體時，浮體的圓柱體浸入水中的深度h₀=$\frac{{m}_{0}}{ρ{S}_{0}}$（用S₀、m₀、ρ表示）．
（3）被稱物體質(zhì)量m與浮體的圓柱體浸入水中深度h之間的關(guān)系式為m=ρS₀h-m₀（用h、S₀、m₀、ρ表示）．
（4）要使此“浮力稱”能夠達(dá)到最大稱量值，使用前應(yīng)在外筒中至少加入的水的質(zhì)量為ρL₀（S-S₀）（用L₀、S₀、S、ρ表示）．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)秤盤上不放物體時，浮體所受到的浮力等于浮體自身的重力，利用重力公式即可解答；
（2）當(dāng)秤盤上不放物體時，根據(jù)漂浮條件可表示出浮力，利用阿基米德原理可求出排開水的體積，而V_排=S_浮體h_浸，據(jù)此可得圓柱體浸入水中的深度h₀的表達(dá)式；
（3）當(dāng)被稱物體質(zhì)量為m時，整體仍然漂浮，分別用漂浮條件和阿基米德原理表示出浮力，據(jù)此可得被稱物體質(zhì)量m與浮體的圓柱體浸入水中深度h之間的關(guān)系式；
（4）要使此“浮力稱”能夠達(dá)到最大稱量值，則圓柱體應(yīng)剛好浸沒，且圓柱體的下表面剛好接觸外筒的底部，此時整體仍然漂浮（圓柱體與外筒的底部無力的作用），則可求出所加水的最小體積，最后根據(jù)密度公式可求出所加水的最小質(zhì)量．

解答 解：
（1）當(dāng)秤盤上不放物體時，由漂浮條件可得浮體所受到的浮力為：
F_浮=G₀=m₀g=0.23kg×10N/kg=2.3N；
（2）當(dāng)秤盤上不放物體時，根據(jù)阿基米德原理和漂浮條件可得：
F_浮=ρgV_排1=G₀=m₀g，
則圓柱體排開水的體積為：V_排1=$\frac{{m}_{0}}{ρ}$，
已知圓柱體的底面積為S₀，則此時圓柱體浸入水中的深度：
h₀=$\frac{{V}_{排1}}{{S}_{0}}$=$\frac{\frac{{m}_{0}}{ρ}}{{S}_{0}}$=$\frac{{m}_{0}}{ρ{S}_{0}}$；
（3）當(dāng)被稱物體質(zhì)量為m時，整體處于漂浮狀態(tài)，則根據(jù)阿基米德原理和漂浮條件可得：
F_浮′=ρgV_排2=（m+m₀）g，
即：ρgS₀h=（m+m₀）g，
整理可得：m=ρS₀h-m₀；
（4）要使此“浮力稱”能夠達(dá)到最大稱量值，則圓柱體應(yīng)剛好浸沒（此時整體仍處于漂浮狀態(tài)），且圓柱體的下表面剛好接觸外筒的底部時，外筒中所加水的體積最小，如圖所示：

則外筒中所加水的最小體積：V_水=L₀（S-S₀），
由ρ=$\frac{m}{V}$可得，外筒中所加水的最小質(zhì)量為：m_水=ρV_水=ρL₀（S-S₀）．
故答案為：（1）2.3；（2）$\frac{{m}_{0}}{ρ{S}_{0}}$；（3）ρS₀h-m₀；（4）ρL₀（S-S₀）．

點評 本題考查了漂浮條件和阿基米德原理的綜合應(yīng)用，利用好物體漂浮時浮力等于重力是解答此題的關(guān)鍵，難點是第3小題，關(guān)鍵是通過作圖的方法求出所加水的最小體積．