Question

20．如圖所示，圓柱形容器中盛有水．現(xiàn)將一質量為0.5千克的正方體物塊放入容器中，液面上升了2厘米．此時正方體物塊有一半露出水面．已知容器的橫截面積與正方體橫截面積之比為2：1，g取10牛/千克，容器壁厚不計．求：
（1）物塊對容器底的壓強．
（2）若再緩緩向容器中注入水，至少需要加多少水，才能使物塊對容器底的壓強為零．

Answer 1

分析 （1）容器內(nèi)水的體積加上正方體物塊一半的體積等于后來水的深度乘以容器的底面積，據(jù)此求出正方體的邊長，進一步得出物塊排開水的體積，根據(jù)阿基米德原理求出物塊受到的浮力，物塊的重力減去受到的浮力即為物塊對容器底部的壓力，利用p=$\frac{F}{S}$求出物塊對容器底的壓強；
（2）物塊對容器底的壓強為零時，處于漂浮狀態(tài)，受到的浮力和自身的重力相等，根據(jù)阿基米德原理求出排開水的體積，根據(jù)V=Sh求出液面上升的高度，進一步求出需加的水的體積．

解答 解：（1）設容器的橫截面積為S₂，正方體的橫截面積為S₁，正方體的邊長為a，容器內(nèi)水的深度為h_水，放入物體后的深度（h_水+2cm），則
h_水S₂+$\frac{1}{2}$a×S₁=（h_水+2cm）S₂，
整理可得：
a=$\frac{2{S}_{2}}{{S}_{1}}$×2cm=$\frac{2×2{S}_{1}}{{S}_{1}}$×2cm=8cm，
則V_排=S₁×$\frac{1}{2}$a=a²×$\frac{1}{2}$a=$\frac{1}{2}$×（8cm）³=256cm³=2.56×10^-4m³，
物塊受到的浮力：
F_浮=ρ_水gV_排=1.0×10³kg/m³×10N/kg×2.56×10^-4m³=2.56N，
物塊的重力：
G=mg=0.5kg×10N/kg=5N，
物塊對容器底部的壓力：
F_壓=G-F_浮=5N-2.56N=2.44N，
受力面積：
S₁=a²=（8cm）²=64cm²=0.0064m²，
物塊對容器底的壓強：
p=$\frac{{F}_{壓}}{{S}_{1}}$=$\frac{2.44N}{0.0064{m}^{2}}$=381.25Pa；
（2）物塊對容器底的壓強為零時，處于漂浮狀態(tài)，
則F_浮′=G，
根據(jù)F_浮=ρ_水gV_排可得物塊排開水的體積：
V_排′=$\frac{{F}_{浮}^{′}}{{ρ}_{水}g}$=$\frac{5N}{1.0×1{0}^{3}kg/{m}^{3}×10N/kg}$=5×10^-4m³，
液面上升的高度：
△h′=$\frac{{V}_{排}^{′}}{{S}_{1}}$-$\frac{a}{2}$=$\frac{5×1{0}^{-4}{m}^{3}}{0.0064{m}^{2}}$-$\frac{8cm}{2}$=0.078125m-4cm=7.8125cm-4cm=3.8125cm，
需加的水的體積：
V=（S₂-S₁）△h′=（2S₁-S₁）△h′=S₁△h′=64cm²×3.8125cm=244cm³．
答：（1）物塊對容器底的壓強為381.25Pa；
（2）若再緩緩向容器中注入水，至少需要加244cm³的水，才能使物塊對容器底的壓強為零．

點評 本題考查了壓強和液體體積的計算，涉及到阿基米德原理和壓強公式、重力公式的應用，要注意物塊對容器底的壓強為零時可認為物塊沒離開容器的底部．