Question

一個(gè)密度為2×10³千克/米³的圓柱體高10厘米，用一根彈簧把它吊起來，讓它的一半浸沒在水中（盛水的容器很大），此時(shí)彈簧比原長伸長了8厘米（已知彈簧的伸長量與所受的拉力成正比，即F=k△x，k對給定的彈簧來說是常數(shù)，△x是彈簧的伸長量），現(xiàn)再往容器中注入密度為0.8×10³千克/米³的油，并超過圓柱頂．問此時(shí)彈簧的伸長是多少？

Answer 1

分析：當(dāng)圓柱體一半浸沒在水中時(shí)，圓柱體受到重力、浮力和拉力作用，并且豎直向下的重力等于豎直向上的拉力和浮力之和，列出關(guān)系式；
當(dāng)再往容器中注入密度為0.8×10³千克/米³的油，并超過圓柱頂時(shí)，圓柱體仍然受到重力、浮力和拉力，并且豎直向下的重力仍然等于豎直向上的拉力和浮力之和，列出關(guān)系式；
聯(lián)立關(guān)系式解之即可．

解答：解：設(shè)圓柱體的橫截面積為S，ρ為圓柱體密度，x₁為容器中是水時(shí)彈簧伸長8，x₂為容器中是水和油時(shí)彈簧伸長量，則
ρgSh-ρ_水gS×

1

2

h=kx₁------------①
ρgSh-ρ_水gS[

1

2

h-（x₁-x₂）]-ρ_油gS[

1

2

h+（x₁-x₂）]=kx₂--------②
①除以②得：

ρh- 1 2 ρ水h

ρh-ρ水[ 1 2 h-(x1-x2]-ρ油[ 1 2 h+(x1-x2)]

=

x1

x2

（2×10³kg/m³×0.1m-

1

2

×10³kg/m³×0.1m）x₂=[2×10³kg/m³×0.1m-

1

2

×10³kg/m³×0.1m+10³kg/m³×（0.08m-x₂）-

1

2

×800kg/m³×0.1m-800kg/m³×（0.08m-x₂）]×0.08m
解之：x₂=6.07cm．
答：此時(shí)彈簧的伸長是6.07cm．

點(diǎn)評：本題考查了阿基米德原理、密度、重力公式的靈活運(yùn)用，關(guān)鍵是會對物體進(jìn)行受力分析，根據(jù)平衡狀態(tài)列出等價(jià)關(guān)系式，計(jì)算過程還要注意單位的換算．