Question

（2012?順義區(qū)一模）工人用如圖所示裝置，打撈深井中的邊長為30cm的正方體石料，石料的密度為3×10³kg/m³．裝置的OC、DE、FG三根柱子固定在地面上，AB桿可繞O點轉動，AO：OB=1：2，邊長為L的正立方體配重M通過繩豎直拉著桿的B端．現用繩子系住石料并掛在滑輪的鉤上，工人用力沿豎直方向向下拉繩，使石料以0.2m/s的速度從水中勻速提升．AB桿始終處于水平位置，繩子的質量、輪與軸間的摩擦均不計，g取10N/kg．求：
（1）如果石料在水中勻速上升時滑輪組的機械效率是η₁，石料完全離開水面后滑輪組的機械效率是η₂，且η₁：η₂=83：84，求石料在水中勻速上升過程中，工人拉繩的功率多大？
（2）若石料在水中勻速上升時，配重對地面的壓強為6500帕，石料完全離開水面后，配重對地面的壓強為4812.5帕；求配重M的密度．

Answer 1

分析：（1）已知正方體石料邊長為30cm，可求出體積，又知密度3×10³kg/m³，根據G=ρVg可求出重力；再根據阿基米德定律求出石料所受的浮力，即可求出動滑輪對石料的拉力；然后根據機械效率公式η₁和η₂的表達式，由η₁：η₂=83：84，列出方程求出動滑輪重；再由滑輪組的省力特點求出工人的拉力，根據石料的速度求出繩子自由端的拉力，最后根據P=FV求出拉力的功率．
（2）根據滑輪組省力特點，求出配重出水前滑輪組繩子的拉力，已知AO：OB=1：2，根據杠桿的平衡條件可求出杠桿B端對配重的拉力，根據F'_B1+N=G_M，列出方程；
根據滑輪組省力特點，求出配重出水后滑輪組繩子的拉力，已知AO：OB=1：2，根據杠桿的平衡條件可求出杠桿B端對配重的拉力，根據F′_B2+N'=G_M，列出方程，結合兩方程可求出配重M的密度．

解答：解：（1）分別取石料、滑輪和杠桿為研究對象，其受力情況如圖示，
石料的重力G石=ρVg=3×103kg/m3×10N/kg×(0.3m)3=810N，
石料所受的浮力F_浮=ρ_水gV_排=1×10³kg/m³×10N/kg×（0.3m）³=270N，
拉力T₁=G_石-F_浮=810N-270N=540N，

設石料在水中和完全離開水面后所上升的高度均為h，根據題意可得：
η1=

(G石-F浮)h

[(G石-F浮)+G輪]h

=

810N-270N

810N-270N+G輪

=

540N

540N+G輪

，
η2=

G石h

(G石+G輪)h

=

810N

810N+G輪

，

η1

η2

=

540N 540N+G輪

810N 810N+G輪

=

83

84

，
聯立式可得G_輪=20N，
工人的拉力為FA1=

T′1+G動

2

=

T1+G動

2

=

540N+20N

2

=280N，
拉力的功率為p=Fnv=280N×2×0.2m/s=112W．
（2）分別取杠桿和配重為研究對象，兩種狀態(tài)下的受力情況分別如圖示：

石料在水中時，F_A1?OA=F_B1?OB，FB1=280N×

1

2

=140N，
因F′_B1+N=G_M，即p1L2=ρMgL3-F′B1，6500Pa?L2=ρMgL3-140N…①，
石料出水后，F_A2?OA=F_B2?OB，FB2=415N×

1

2

=207.5N，
因F′_B2+N′=G_M，即p2L2=ρMgL3-FB2，4812.5Pa?L2=ρMgL3-207.5N…②，
聯立①②兩式可解得ρM=5×103kg/m3．
答：（1）石料在水中勻速上升過程中，工人拉繩的功率是112W；
（2）配重M的密度是5×10³kg/m³．

點評：（1）本題考查的知識面比較廣，有功率的計算，密度的計算，杠桿平衡條件的應用及滑輪組的特點等．解決此題第一問關鍵是求出動滑輪的重力，分別寫出η₁和η₂的表達式，依據η₁：η₂=83：84列出方程是突破口．
（2）解答本題第二問的關鍵是要理清題意，正確對物體進行受力分析，正確運用杠桿平衡條件和壓強公式是解題的關鍵．