Question

4．演繹式探究-探究太陽的引力系數(shù)：
（1）宇宙中任何兩個物體之間都存在萬有引力，萬有引力的大小F_引=G$\frac{{m}_{1}{m}_{2}}{{r}^{2}}$，其中m₁、m₂分別為兩個物體間的距離，萬有引力常數(shù)G=6.67×10^-11N•m²/kg²．物體間引力和距離一定時，兩個物體質量m₁、m₂分的關系可以用如圖中圖線b來表示．
（2）行星繞恒星的運動可以近似地看作勻速圓周運動．行星受到一個恒定的指向恒星的向心力，向心力的大小F_向=mω²r，其中m為行星質量，r為兩星之間的距離，ω為行星做圓周運動的角速度，其大小等于單位時間內行星與恒星連線轉過的角度．行星繞恒星運動一周所用的時間用周期T表示，角速度ω與轉動周期T的關系為：ω=$\frac{2π}{T}$．行星所受向心力F_向的大小等于恒星對行星的引力F_引的大�。�
    每個星球對在它表面附件的物體都存在引力，引力與物體質量的比值叫作引力系數(shù)，用g表示，我們學過地球的引力系數(shù)g_地=10N/kg．對于每個星球來講，下列公式成立：R²g=GM，其中R為星球半徑，g為星球引力系數(shù)，M為星球質量，萬有引力常數(shù)G=6.67×10^-11N•m²/kg²．
已知地球質量為m，地球到太陽的距離為L，太陽半徑為R，地球的公轉周期為T．請你推導出太陽的引力系數(shù)g_日=$\frac{4{π}^{2}{L}^{3}}{{R}^{2}{T}^{2}}$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)萬有引力的大小F_引=G$\frac{{m}_{1}{m}_{2}}{{r}^{2}}$，分析其中已知量和不為的量和變化的量，可得兩個物體質量m₁、m₂分的關系，從而確定圖象；
（2）太陽為恒星，地球為太陽的行星，根據(jù)它們之間的萬有引力公式和它們之間的向心力公式，結合對于太陽來講，R²g=GM進行推導．

解答 解：（1）萬有引力的大小F_引=G$\frac{{m}_{1}{m}_{2}}{{r}^{2}}$，其中m₁、m₂分別為兩個物體間的距離，萬有引力常數(shù)：
G=6.67×10^-11N•m²/kg²．由上式可知：
物體間引力和距離一定時，兩個物體質量m₁、m₂分之積為定值，為反比例函數(shù)的關系，故可以用如圖中圖線b來表示．
（2）地球為太陽的行星，根據(jù)萬有引力公式，F(xiàn)_引=G$\frac{{m}_{1}{m}_{2}}{{r}^{2}}$=G$\frac{mM}{{L}^{2}}$-----①，
它們之間的向心力：
F_向=mω²r=m$（\frac{2π}{T}）^{2}$-----②；
因地球所受向心力F_向的大小等于太陽對地球的引力F_引的大小．由①②得：
F_引=G$\frac{{m}_{1}{m}_{2}}{{r}^{2}}$=G$\frac{mM}{{L}^{2}}$=m$（\frac{2π}{T}）^{2}$L，
即GM=$\frac{4{π}^{2}{L}^{3}}{{T}^{2}}$------③；
又對于每個星球來講，R²g_日=GM，
g_日=$\frac{GM}{{R}^{2}}$-----④，將③代入④得：
太陽的引力系數(shù)g_日=$\frac{\frac{4{π}^{2}{L}^{3}}{{T}^{2}}}{{R}^{2}}$$\frac{4{π}^{2}{L}^{3}}{{R}^{2}{T}^{2}}$．
故答案為：（1）b；（2）如上所示．

點評 本題探究太陽的引力系數(shù)，考查根據(jù)公式確定函數(shù)關系及圖象，關鍵是從題中獲取有效的信息，體現(xiàn)了和高中物理知識的銜接．