Question

（2013?大興區(qū)一模）如圖所示，有兩個(gè)底面積均為S的實(shí)心圓柱體C和D，分別用兩根細(xì)繩的一端系于它們的上表面的中央，細(xì)繩的另一端分別系在輕質(zhì)杠桿的兩端，杠桿恰好水平平衡．把質(zhì)量為800g的酒精緩慢注入底面積為S₁的圓柱形容器甲中，同時(shí)向底面積為S₂的圓柱形容器乙中注入某種液體，當(dāng)兩容器中液體均靜止，且杠桿再次水平平衡時(shí)，圓柱體C下底浸入酒精中的深度為2.5cm，酒精對(duì)容器甲底面的壓強(qiáng)為1100Pa，圓柱體D下底浸入液體的深度為4cm．若把圓柱體D從B端取下后將其從原位置再豎直向下移動(dòng)2.5cm，圓柱體D剛好被液體浸沒(méi)，此時(shí)細(xì)線(xiàn)的拉力為13.6N．在以上整個(gè)操作過(guò)程中，兩容器中液體均未溢出，且圓柱體C和D均未與容器壁接觸．已知酒精的密度為0.8×10³ kg/m³，S₁為80cm²，AO：OB=3：1，S₂：S=9：4，g取10N/kg，則圓柱體D的密度為

5.5×10³

kg/m³．

Answer 1

分析：①根據(jù)題意求出酒精的重力和酒精對(duì)甲容器底的壓力，然后根據(jù)壓力差C受到的浮力，從而進(jìn)一步求出C排開(kāi)酒精的體積，再根據(jù)體積與面積的關(guān)系求出C、D的底面積以及S₂的大��；
②因?yàn)閮纱胃軛U都平衡，因此可根據(jù)杠桿平衡的條件求出B端所受拉力減少量，即D受到的浮力；再利用阿基米德原理求出乙中液體的密度和D浸沒(méi)4cm時(shí)排開(kāi)液體的體積；
③把圓柱體D從B端取下后將其從原位置再豎直向下移動(dòng)2.5cm，可求出D浸沒(méi)2.5cm時(shí)排開(kāi)液體的體積，然后再根據(jù)圓柱體D剛好被液體浸沒(méi)求出圓柱體D的高度，再利用V=Sh和阿基米德求出D的體積和全部浸沒(méi)時(shí)受到的浮力，根據(jù)D的重力等于浮力和拉力的合力即可求出重力，進(jìn)一步得出質(zhì)量，最后利用密度公式求出D的密度．

解答：解：酒精的重力：G₁=m₁g=0.8kg×10N/kg=8N，
酒精對(duì)甲容器底的壓力：F_甲=p₁×S₁=1100Pa×80×10^-4m²=8.8N，
因?yàn)槿萜鳛橐?guī)則容器，則物體C所受的浮力等于容器底部受到的壓力與酒精的重力差：F_浮C=F_甲-G₁=8.8N-8N=0.8N．   
∵F_浮=ρ_酒精gV_排
∴物體C排開(kāi)酒精的體積：
V_排=

F浮C

ρ酒精g

=

0.8N

0.8×103N/kg×10N/kg

=10^-4m³=100cm³，
物體C、D的底面積為：
S=

V排

h

=

100cm3

2.5cm

=40cm²，
∵S₂：S=9：4
∴S₂=

9

4

×40cm²=90cm²，
根據(jù)杠桿平衡的條件可知，F(xiàn)_A×OA=F_B×OB，因?yàn)閮纱胃軛U都是平衡的，故杠桿B端所受拉力減少量：
△F_B=

△FA×OA

OB

=0.8N×3=2.4N，
即D受到的浮力：F_浮D=2.4N，
則ρ_乙gv_排=F_浮D
ρ_乙=

F浮D

gv排

=

2.4N

10N/kg×0.004m2×0.04m

=1.5×10³kg/m³，
V_排′=

F浮D

ρ乙g

=

2.4N

1.5×103kg/m3×10N/kg

=1.6×10^-4m³=160cm³，
物體D下移2.5cm時(shí)，則排開(kāi)液體的體積：V_排″=

2.5cm

4cm

×160cm³=100cm³，
從B端取下后將其從原位置再豎直向下移動(dòng)2.5cm，圓柱體D剛好被液體浸沒(méi)時(shí)，圓柱體D的高度：
h_D=4cm+2.5cm+

100cm3

90cm2-40cm2

=8.5cm，
則D完全浸沒(méi)時(shí)受到的浮力：F_浮D′=ρ_乙gV_D=1.5×10³kg/m³×10N/kg×0.004m²×0.085m=5.1N，
故D的重力G_D=13.6N+5.1N=18.7N，
D的質(zhì)量：m=

GD

g

=

18.7N

10N/kg

=1.87kg，
D的密度：ρ=

mD

VD

=

1.87kg

0.004m2×0.085m

=5.5×10³kg/m³．
故答案為：5.5×10³kg/m³．

點(diǎn)評(píng)：本題涉及到的知識(shí)點(diǎn)較多，考查受力分析、杠桿的平衡條件、浮力大小的計(jì)算、液體壓強(qiáng)大小的計(jì)算的綜合運(yùn)用，屬于難度較大的題目．解題時(shí)注意浮力公式和液體壓強(qiáng)公式的靈活運(yùn)用．