Question

14．如圖所示，有n塊密度均勻、完全相同的磚，長為L，采用如圖的方法疊放在水平桌面上，使每一個磚壓著下面的磚并伸出一部分，為使得磚塊整體伸出桌面長度最大，則從上到下第2塊磚在第3塊磚上能伸出的長度為$\frac{1}{4}$；第n塊磚伸出桌面的長度為$\frac{1}{2n}$．

Answer 1

分析 （1）質(zhì)量分布均勻、形狀規(guī)則的物體重心在其幾何中心，據(jù)此確定磚的重心位置；
（2）磚塊可以看做杠桿，由杠桿平衡條件知：只要上面的磚重心不超出支點之外，磚就可平衡，
（3）從上向下分析，求出各磚能伸出的最大長度．

解答 解：
設(shè)一塊磚的長度為L，磚質(zhì)量分布均勻，形狀規(guī)則，其重心在其幾何中心；
（1）第1塊磚的重心在距磚的右端$\frac{L}{2}$處，如圖所示，第1塊磚放在第2塊磚上面，第2塊磚的右端是第1塊磚的支點，當?shù)?塊磚伸出的長度為$\frac{1}{2}$時，磚的重心恰好在支點上，第1塊磚恰能平衡，如果磚伸出的長度大于$\frac{L}{2}$，磚將翻倒，不會平衡，因此第1塊磚伸出的最大長度是磚長的$\frac{1}{2}$；
（2）第1與第2塊磚組成的整體重心在它們的幾何中心，第3塊磚的右端是它們的支點，它們重心距第1塊磚最右端的距離是$\frac{3L}{4}$，如圖所示，第1與第2塊磚組成的整體重心距支點的距離為$\frac{3L}{4}$-$\frac{L}{2}$=$\frac{L}{4}$，則第2塊磚伸出的最大長度是磚長的$\frac{1}{4}$；
（3）第1、2、3三塊磚組成的整體重心位置距第1塊磚的距離是$\frac{11L}{12}$，如圖所示，第4塊磚的右端是上面3塊磚的支點，第1、2、3塊磚的重心距它們支點的距離是$\frac{11L}{12}$-$\frac{3L}{4}$=$\frac{1L}{6}$，所以第3塊磚伸出的最大長度是磚長的$\frac{1}{6}$；
（4）因此可得，第n塊磚伸出的最大長度是磚長的$\frac{1}{2n}$．
故答案為：$\frac{1}{4}$；$\frac{1}{2n}$．

點評 本題考查了確定物體伸出的最大長度問題，難度較大，是一道難題；恰當?shù)剡x擇研究對象、確定研究對象的重心，是正確解題的關(guān)鍵．