Question

（2010?豐臺(tái)區(qū)二模）某科技小組的同學(xué)們?cè)O(shè)計(jì)制作了一個(gè)多擋位電熱器模型，為了分析接入電路的電阻對(duì)電熱器電功率的影響，他們將電表接入電路中，如圖所示．當(dāng)只閉合開關(guān)S₁時(shí)，電壓表和電流表的示數(shù)分別為U₁和I₁，電阻R₃消耗的電功率為P₃；當(dāng)只閉合開關(guān)S₂時(shí)，電壓表和電流表的示數(shù)分別為U₂和I₂，電阻R₃消耗的電功率為P₃′，并測(cè)得此時(shí)R₂消耗的電功率為l．6W，已知U₂=2U₁，P₃=4P₃′．電源電壓、電阻保持不變．
（1）求電阻R₁與R₂的比值；
（2）通過撥動(dòng)開關(guān)，可以使電路消耗的電功率最大，請(qǐng)計(jì)算電路消耗的最大電功率．

Answer 1

分析：（1）只閉合S₁時(shí)R₁和R₂串聯(lián)，只閉合S₂時(shí)R₂和R₃串聯(lián)，根據(jù)P=I²R表示出電阻R₃消耗的電功率結(jié)合比值求出兩電流關(guān)系，根據(jù)歐姆定律表示出電壓表的示數(shù)結(jié)合電流關(guān)系即可求出電阻R₁與電阻R₂的比值；
（2）根據(jù)電阻的串聯(lián)和歐姆定律表示出電源的電壓，利用電源的電壓不變建立等式結(jié)合電流關(guān)系即可得出三電阻的阻值關(guān)系，根據(jù)電阻的串聯(lián)和歐姆定律表示出圖2中的電流，利用P=I²R表示出電阻R₂消耗的電功率1.6W，當(dāng)S₁、S₂、S₃都閉合時(shí)，R₁和R₂并聯(lián)，此時(shí)電路中的總電阻最小，電路的總功率最大，根據(jù)并聯(lián)電路的電壓特點(diǎn)和P=

U2

R

表示出R₁和R₂的電功率，兩者之和即為最大總功率．

解答：解：（1）只閉合S₁時(shí)，R₁和R₂串聯(lián)，等效電路圖如圖1所示；只閉合S₂時(shí)，R₂和R₃串聯(lián)，等效電路圖如圖2所示．

∵P=I²R，且P₃：P₃′=4：1，
∴

P3

P′3

=

I21R3

I22R3

=（

I1

I2

）²=

4

1

，
解得：

I1

I2

=

2

1

，
∵I=

U

R

，且U₁：U₂=1：2，
∴

U1

U2

=

I1R1

I2R2

=

I1

I2

×

R1

R2

=

2

1

×

R1

R2

=

1

2

，
解得：

R1

R2

=

1

4

；
（2）∵電源的電壓不變，
∴

I1

I2

=

R2+R3

R1+R3

=

4R1+R3

R1+R3

=

2

1

，
解得：R₃=2R₁，R₂=2R₃，
圖2中：I₂=

U

R2+R3

=

U

R2+ 1 2 R2

=

2U

3R2

，
P₂=I₂²R₂=（

2U

3R2

）²×R₂=

4

9

×

U2

R2

=1.6W，
即

U2

R2

=3.6W，
當(dāng)S₁、S₂、S₃都閉合時(shí)，R₁和R₂并聯(lián)，此時(shí)R_總最小，電路的總功率最大．

∵并聯(lián)電路中各支路兩端的電壓相等，
∴電路消耗的最大功率：
P=P₁+P₂′=

U2

R1

+

U2

R2

=

U2

1 4 R2

+

U2

R2

=5×

U2

R2

=5×3.6W=18W．
答：（1）電阻R₁與電阻R₂的比值為1：4；
（2）電路消耗總功率最大，最大為18W．

點(diǎn)評(píng)：弄清三種情況下電路的連接形式結(jié)合已知的幾個(gè)等式2U₁=U₂，P₃=4P₃′，從R₂消耗的電功率為1.6W為突破口．是解決本題的關(guān)鍵．