Question

（2012?北京）圖是一種新型吊運(yùn)設(shè)備的簡化模型示意圖，圖中虛線框里是滑輪組（未畫出），滑輪組繩子的自由端由電動(dòng)機(jī)拉動(dòng)．工人師傅用該吊運(yùn)設(shè)備先后搬運(yùn)水平地面上的圓柱形物體A和物體B．物體A的底面積為S_A，密度為ρ_A，高度為h₁；物體B的底面積為S_B，密度為ρ_B，高度為h₂．當(dāng)物體A所受豎直向上拉力T₁為1500N時(shí)，物體A靜止，地面對物體A的支持力為N₁，掛在滑輪組掛鉤上的物體A勻速豎直上升4m的過程中，電動(dòng)機(jī)對滑輪組繩子自由端的拉力為F₁，拉力F₁做的功為W．當(dāng)物體B所受豎直向上的拉力T₂為1000N時(shí)，物體B靜止，地面對物體B的支持力為N₂．掛在滑輪組掛鉤上的物體B以速度v勻速豎直上升的過程中，電動(dòng)機(jī)對滑輪組繩子自由端的拉力F₂為625N，拉力F₂做功的功率P為500W，滑輪組的機(jī)械效率為80%．已知：N₁=2N₂，5S_A=4S_B，8ρ_A=7ρ_B，2h_A=5h_B，不計(jì)繩的質(zhì)量，不計(jì)滑輪與軸的摩擦．求：
（1）物體B勻速上升的速度v：
（2）拉力F₁做的功W．

Answer 1

分析：首先對物體進(jìn)行受力分析，此時(shí)物體A和物體B在豎直方向受三個(gè)力的作用，豎直向上的拉力和支持力，豎直向下的重力．
（1）知道物體A和物體B的底面積、密度和高度可利用公式G=mg=ρvg=ρshg計(jì)算出物體A和物體B的重力．從圖可知，當(dāng)物體A和物體B靜止時(shí)，豎直向上的力等于豎直向下的力，從而可以列出兩個(gè)等式：G_A=T₁+N₁①，G_B=T₂+N₂②，

①

②

便可以計(jì)算出物體A和物體B的重力、以及N₁和N₂的大小．
知道提升重物B時(shí)滑輪組的機(jī)械效率和繩子自由端的拉力，可利用公式η=

W有用

W總

=

Gh

FS

=

G

nF

計(jì)算出吊著物體的繩子的段數(shù)．
知道拉力F₂的大小和拉力F₂做功的功率，可利用公式P=FV計(jì)算出繩子自由端運(yùn)動(dòng)的速度，從而可以計(jì)算出物體B勻速上升的速度v．
（2）知道物體B的重力和繩子自由端的拉力F₂，不計(jì)繩的質(zhì)量，不計(jì)滑輪與軸的摩擦，可利用公式F=

1

n

（G_物+G_動(dòng)）計(jì)算出動(dòng)滑輪的重力，又知道物體A的重力，可利用公式F=

1

n

（G_物+G_動(dòng)）計(jì)算出提升重物A時(shí)繩子自由端的拉力F₁，知道物體A上升的高度，從而可以計(jì)算出繩子自由端移動(dòng)的距離，最后再利用公式W=FS計(jì)算出拉力F₁做的功W．

解答：解：物體A和物體B在豎直方向受三個(gè)力的作用，豎直向上的拉力和支持力，豎直向下的重力．如圖所示：

（1）∵物體A的底面積為S_A，密度為ρ_A，高度為h₁；物體B的底面積為S_B，密度為ρ_B，高度為h₂，
∴物體A的重力為：G_A=ρ_As_Ah_Ag；物體B的重力為：G_B=ρ_Bs_Bh_Bg，
而物體A和物體B靜止，
∴G_A=T₁+N₁，G_B=T₂+N₂，
而T₁=1500N，T₂=1000N，
即：ρ_As_Ah_Ag=1500N+N₁①，ρ_Bs_Bh_Bg=1000N+N₂②，
則

①

②

=

ρAsAhAg

ρBsBhBg

=

1500N+N1

1000N+N2

，
而N₁=2N₂，5S_A=4S_B，8ρ_A=7ρ_B，2h_A=5h_B，
解得：N₁=2000N，N₂=1000N，G_A=3500N，G_B=2000N；
∵繩子自由端的拉力F₂=625N，η=80%，
∴η=

W有用

W總

=

GB

nF2

=

2000N

n×625N

=80%，
解得：n=4．
又∵拉力F₂做功的功率P=500W，
由公式P=Fv得，
∴繩子自由端運(yùn)動(dòng)的速度為：v_繩=

P

F2

=

500W

625N

=0.8m/s，
則物體B勻速上升的速度為：v=

1

4

v_繩=

1

4

×0.8m/s=0.2m/s．
（2）∵n=4，拉力F₂=625N，G_B=2000N，
∴由公式F=

1

n

（G_物+G_動(dòng)）可得：
動(dòng)滑輪的重力為；G_動(dòng)=4F₂-G_B=4×625N-2000N=500N，
而G_A=3500N，
∴提升重物A時(shí)繩子自由端的拉力為：F₁=

1

4

×（G_A+G_動(dòng)）=

1

4

×（3500N+500N）=1000N，
而物體A上升的高度為：h=4m，
則繩子自由端移動(dòng)的距離為：s=4h=4×4m=16m，
∴拉力F₁做的功為：W=F₁s=1000N×16m=16000J．
答：（1）物體B勻速上升的速度v為0.2m/s．
（2）拉力F₁做的功W為16000J．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合性較強(qiáng)而且難度較大，基本涵蓋了滑輪組和機(jī)械效率的所有知識(shí)點(diǎn)，所以要解答本題，需要基礎(chǔ)相當(dāng)?shù)脑鷮?shí)．本題考查物體的重力、動(dòng)滑輪重力、功率和距離的計(jì)算，關(guān)鍵是公式及其變形的靈活運(yùn)用，難點(diǎn)是對物體進(jìn)行受力分析，判斷出動(dòng)滑輪上繩子的段數(shù)，找出其中的等量關(guān)系．