Question

7．3個電阻R₁、R₂和R₃，按如圖所示方式連接，通電后在相等的時間內產生的熱量之比為Q₁：Q₂：Q₃=1：2：10．
（1）求它們的電功率之比；
（2）求它們的電阻之比；
（3）求它們的電流之比．

Answer 1

分析 由電路圖可知，R₁與R₂并聯后與R₃串聯．
（1）根據Q=W=Pt求出三電阻的電功率之比；
（2）根據并聯電路的電壓特點和P=$\frac{{U}^{2}}{R}$求出R₁與R₂的阻值關系，根據電阻的并聯表示出并聯部分的電阻，根據歐姆定律表示出電路中的電流，利用P=I²R表示出R₃的電功率，再根據P=$\frac{{U}^{2}}{R}$表示出R₂的電功率，利用R₂與R₃的功率之比得出電阻關系然后得出答案；
（3）根據P=UI和并聯電路的電壓特點求出R₁與R₂的電流之比，再根據并聯電路的電流特點求出三電阻的電流之比．

解答 解：由電路圖可知，R₁與R₂并聯后與R₃串聯．
（1）由Q=W=Pt可得，三電阻的電功率之比：
P₁：P₂：P₃=$\frac{{W}_{1}}{t}$：$\frac{{W}_{2}}{t}$：$\frac{{W}_{3}}{t}$=W₁：W₂：W₃=Q₁：Q₂：Q₃=1：2：10；
（2）因并聯電路中各支路兩端的電壓相等，
所以，由P=$\frac{{U}^{2}}{R}$可得，R₁與R₂的阻值之比：
$\frac{{P}_{1}}{{P}_{2}}$=$\frac{\frac{{{U}_{并}}^{2}}{{R}_{1}}}{\frac{{{U}_{并}}^{2}}{{R}_{2}}}$=$\frac{{R}_{2}}{{R}_{1}}$=$\frac{1}{2}$，則R₁=2R₂，
因并聯電路中總電阻的倒數等于各分電阻的倒數之和，
所以，并聯部分的電阻：
R_并=$\frac{{R}_{1}{R}_{2}}{{R}_{1}+{R}_{2}}$=$\frac{2{R}_{2}×{R}_{2}}{2{R}_{2}+{R}_{2}}$=$\frac{2{R}_{2}}{3}$，
電路中的電流：
I=$\frac{{U}_{并}}{\frac{2{R}_{2}}{3}}$=$\frac{3{U}_{并}}{2{R}_{2}}$，
R₃的電功率：
P₃=I²R₃=（$\frac{3{U}_{并}}{2{R}_{2}}$）²R₃=$\frac{9{{U}_{并}}^{2}}{4{{R}_{2}}^{2}}$R₃，
則$\frac{{P}_{2}}{{P}_{3}}$=$\frac{\frac{{{U}_{并}}^{2}}{{R}_{2}}}{\frac{9{{U}_{并}}^{2}}{4{{R}_{2}}^{2}}{R}_{3}}$=$\frac{2}{10}$，
解得：R₃=$\frac{20}{9}$R₂，
所以，R₁：R₂：R₃=2R₂：R₂：$\frac{20}{9}$R₂=18：9：20；
（3）由P=UI可得，R₁與R₂的電流之比：
$\frac{{I}_{1}}{{I}_{2}}$=$\frac{\frac{{P}_{1}}{{U}_{并}}}{\frac{{P}_{2}}{{U}_{并}}}$=$\frac{{P}_{1}}{{P}_{2}}$=$\frac{1}{2}$，即I₂=2I₁，
因并聯電路中干路電流等于各支路電流之和，
所以，I₃=I₁+I₂=I₁+2I₁=3I₁，
則I₁：I₂：I₃=I₁：2I₁：3I₁=1：2：3．
答：（1）它們的電功率之比為1：2：10；
（2）它們的電阻之比為18：9：20；
（3）它們的電流之比為1：2：3．

點評 本題考查了串并聯電路的特點和電功率公式、電熱公式的靈活運用，計算過程要注意各量之間的關系，不要顛倒．