Question

18．如圖所示，邊長為0.1米、密度為2×10³千克/米³的實(shí)心正方體靜止在水平面上，求：
（1）正方體的質(zhì)量．
（2）正方體對水平面的壓強(qiáng)．
（3）若正方體的邊長為a，密度為p，現(xiàn)設(shè)想把該正方體截取一半，并將截取部分疊放在剩余部分上方的中央，使截取部分對剩余部分的壓強(qiáng)與疊放后水平面受到的壓強(qiáng)相等．
小華和小明兩位同學(xué)分別用下表的方法進(jìn)行截取，判斷能否滿足上述要求？若能，請求出疊放后水平面受到的壓強(qiáng)（用字母表示）．

	截取方法	能否滿足上述要求
小華	沿豎直方向截取一半	p=2ρga
小明	沿水平方向截取一半	p=ρga

小強(qiáng)同學(xué)把該正方體截取一半并將截取部分放在水平面上，使其對水平面的壓強(qiáng)最小，求出最小壓強(qiáng)（用字母表示）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)密度公式變形后可求出質(zhì)量；
（2）根據(jù)壓強(qiáng)的定義式P=$\frac{F}{S}$，代入數(shù)值可求壓強(qiáng)；
（3）在比較壓強(qiáng)的大小變化時，既要分析壓力（此題中壓力大小等于重力）的變化，又要考慮受力面積的變化，統(tǒng)籌考慮才能最終做出判斷．

解答 解：（1）體積V=l³=（0.1m）³=0.001m³；
質(zhì)量m=ρV=2×10³kg/m³×0.001m³=2kg；
（2）壓力F=G=mg=2kg×10N/kg=20N；底面積S=l²=（0.1m）²=0.01m²；
壓強(qiáng)P=$\frac{F}{s}$=$\frac{20N}{0.01{m}^{2}}$=2000Pa；
（3）①小華沿豎直方向截取一半，則重力和面積各減小一半；
疊放后水平面受到的壓強(qiáng)：P₂=$\frac{G}{\frac{1}{2}S}$=$\frac{2G}{S}$=2×$\frac{ρ{a}^{3}g}{{a}^{2}}$=2ρa(bǔ)g；
將截取部分按下圖的方式疊放在剩余部分上方的中央時（即十字疊放），

截取部分與剩余部分的接觸面積S′=$\frac{1}{2}$a×$\frac{1}{2}$a=$\frac{1}{4}$a²；
截取部分對剩余部分的壓強(qiáng)為P₁=$\frac{\frac{1}{2}G}{S′}$=$\frac{\frac{1}{2}ρ{a}^{3}g}{\frac{1}{4}{a}^{2}}$=2ρa(bǔ)g；
可見P₁=P₂；故能滿足截取部分對剩余部分的壓強(qiáng)與疊放后水平面受到的壓強(qiáng)相等．
②小明沿水平方向截取一半，物體與地面的接觸面積不變；
則截取部分對剩余部分的壓強(qiáng)為P₁=$\frac{\frac{1}{2}G}{\frac{1}{2}S}$=$\frac{G}{S}$=$\frac{ρ{a}^{3}g}{{a}^{2}}$=ρa(bǔ)g；
水平面受到的壓強(qiáng)為P₂=$\frac{G}{S}$=$\frac{ρ{a}^{3}g}{{a}^{2}}$=ρa(bǔ)g；可見P₁=P₂；故能滿足截取部分對剩余部分的壓強(qiáng)與疊放后水平面所受的壓強(qiáng)相等；
③小強(qiáng)沿如圖沿對角線切去一半后，

所截部分的重力減半即為$\frac{1}{2}$G，物塊為正方體，受力面積是原來的$\sqrt{2}$倍，
所截部分對水平面的壓強(qiáng)p=$\frac{\frac{1}{2}G}{\sqrt{2}S}$=$\frac{\sqrt{2}G}{4S}$=$\frac{\sqrt{2}ρ{a}^{3}g}{4{a}^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$ρa(bǔ)g．
答：（1）正方體的質(zhì)量為2kg；
（2）正方體對水平面的壓強(qiáng)為2000Pa；
（3）小華想沿豎直方向截取一半，能滿足截取部分對剩余部分的壓強(qiáng)與疊放后水平面受到的壓強(qiáng)相等；
小明沿水平方向截取一半，能滿足截取部分對剩余部分的壓強(qiáng)與疊放后水平面受到的壓強(qiáng)相等；
小強(qiáng)的做法截取后對地面的最小壓強(qiáng)是p=$\frac{\sqrt{2}}{4}$ρa(bǔ)g．

點(diǎn)評 熟練運(yùn)用密度公式、壓強(qiáng)公式是解答此題的基礎(chǔ)；分析壓強(qiáng)的變化時，要抓住壓力和面積的變化情況．