Question

14．如圖所示，由電阻組成的長鏈有無數(shù)個(gè)結(jié)點(diǎn)，第一個(gè)結(jié)點(diǎn)有阻值為R的兩個(gè)電阻，第二個(gè)結(jié)點(diǎn)有阻值為2R的兩個(gè)電阻，第三個(gè)結(jié)點(diǎn)有阻值為4R的兩個(gè)電阻，如此下去…下一個(gè)結(jié)點(diǎn)的電阻總是前一個(gè)結(jié)點(diǎn)電阻的2倍，那么測量A、B間的電阻值應(yīng)為多少？

Answer 1

分析 因?yàn)槭菬o限網(wǎng)格，所以若去掉第一個(gè)個(gè)網(wǎng)格，后面的網(wǎng)格電阻正好是前面的2倍，由此根據(jù)串、并聯(lián)電阻特點(diǎn)計(jì)算AB間電阻．

解答 解：
設(shè)R_AB=x
去掉第一個(gè)節(jié)點(diǎn)，后面的無窮網(wǎng)絡(luò)正好是原來的兩倍，電阻是2x，
x=R+$\frac{2x•R}{（2x+R）}$
化簡可得：
2x²-3Rx-R²=0
由一元二次方程的求根公式可得：x=$\frac{3R±\sqrt{（-3R）^{2}-4×2×（-{R}^{2}）}}{2×2}$
則：x₁=$\frac{（3+\sqrt{17}）R}{4}$，
x₂=$\frac{（3-\sqrt{17}）R}{4}$（因?yàn)殡娮璨粫�為�?fù)數(shù)，故根舍去），
所以R_AB=$\frac{（3+\sqrt{17}）R}{4}$．
答：A、B間的電阻值應(yīng)為$\frac{（3+\sqrt{17}）R}{4}$．

點(diǎn)評 本題考查無窮網(wǎng)格電阻的計(jì)算，關(guān)鍵是對無窮網(wǎng)格化簡．