Question

有一邊長(zhǎng)為a，密度為ρ的立方體大理石，工人用一根粗細(xì)均勻的單位長(zhǎng)度重為P牛的鐵棒將石塊撬起一個(gè)很小的角度．如圖所示，如果插入的長(zhǎng)度為石塊邊長(zhǎng)的四分之一，并保持該長(zhǎng)度不變，則當(dāng)選用的鐵棒多長(zhǎng)時(shí)，向上施加的力最��？此最小的力多大？

Answer 1

分析：由題可知，鐵棒的重力提供一部分阻力，作用點(diǎn)在鐵棒的重心上，阻力臂為L(zhǎng)₂；因重物箱的密度均勻且鐵棒插入的長(zhǎng)度為箱寬的四分之一，則一半物重提供阻力，阻力臂為

1

4

a；力F提供動(dòng)力，動(dòng)力臂為L(zhǎng)．在動(dòng)力和阻力的作用下，杠桿平衡．由杠桿的平衡條件求出關(guān)于F的表達(dá)式，則由數(shù)學(xué)知識(shí)要求得F的最小值及取最小值時(shí)L的長(zhǎng)度．

解答：解：由題意可知，物體的重力為G=mg=ρa(bǔ)³g；
設(shè)鐵棒長(zhǎng)為L(zhǎng)，動(dòng)力為F．由題可知鐵棒的重力提供的阻力，作用點(diǎn)在鐵棒的重心上，阻力臂為

1

2

L；因重物箱的密度均勻且鐵棒插入的長(zhǎng)度為箱寬的四分之一，則重物的一半重力提供阻力，阻力臂為

1

4

a；力F提供動(dòng)力，動(dòng)力臂為L(zhǎng)．由杠桿的平衡條件得：F₁L₁=F₂L₂
即：

1

4

a?

1

2

ρa(bǔ)³g+LP?

1

2

L=FL
解得人對(duì)杠桿的力：
F=

ρa(bǔ)4g 8 + pL2 2

L

=

ρa4g

8L

+

p

2

L
由數(shù)學(xué)知識(shí)a²+b²≥2ab，當(dāng)a=b時(shí)取最小值，可得
當(dāng)=

ρa4g

8L

=

p

2

L時(shí)，即L=

a2

2

ρg p

時(shí)F有最小值．
F的最小值為：F=

a2

2

ρgP

．
答：當(dāng)選用的鐵棒長(zhǎng)度為L(zhǎng)=

a2

2

ρg p

時(shí)，施加的力最小；這個(gè)最小的力是F=

a2

2

ρgP

．

點(diǎn)評(píng)：本題是關(guān)于杠桿平衡條件的應(yīng)用，關(guān)鍵點(diǎn)是結(jié)合題意：把重物箱撬起一個(gè)接近于0°的角度，準(zhǔn)確找出阻力臂和動(dòng)力臂．由于解題時(shí)需要用到數(shù)學(xué)上的知識(shí)，屬于綜合性較強(qiáng)的題目．