Question

（2012?北京一模）如圖為一水箱自動(dòng)進(jìn)水裝置．其中水箱高h(yuǎn)為3m，桿AB能繞O點(diǎn)在豎直平面轉(zhuǎn)動(dòng)，OA=2OB，且O點(diǎn)距箱底1m．C處為進(jìn)水管閥門，閥門厚度不計(jì)，進(jìn)水管口橫截面積為2cm²．BC為一直桿，A點(diǎn)以一細(xì)繩與浮體D相連，浮體D是一個(gè)密度為0.4×10³kg/m³的圓柱體，高為0.5m，細(xì)繩長為1m．細(xì)繩、桿、閥的重力不計(jì)，AB桿水平時(shí)正好能堵住進(jìn)水管．當(dāng)進(jìn)水管中水的壓強(qiáng)為P₁時(shí)，水箱深度為2.4m．設(shè)進(jìn)水管中水的最大壓強(qiáng)為P₂，且P₁：P₂=11：15．現(xiàn)在進(jìn)水管中水的壓強(qiáng)為P₃，P₃=3.3×10⁴Pa，且P₃＜P₁．求水箱中水的深度為多少時(shí)，進(jìn)水管停止進(jìn)水．（g取10N/kg）

Answer 1

分析：（1）由題意可知，當(dāng)水箱中的水恰好滿時(shí)進(jìn)水管中水的壓強(qiáng)最大；分別對(duì)圓柱體、杠桿、進(jìn)水管閥門受力分析，根據(jù)力的平衡條件和杠桿的平衡條件以及相互作用力的條件得出杠桿對(duì)進(jìn)水管閥門的拉力；再根據(jù)F=Ps=ρgsh求出水箱中水對(duì)閥門的壓力，進(jìn)一步根據(jù)力的平衡條件求出進(jìn)水管中水對(duì)閥門的壓力，最后根據(jù)P=

F

S

求出進(jìn)水管中水的最大壓強(qiáng)．
（2）先根據(jù)F=Ps=ρgsh求出進(jìn)水管中的水對(duì)閥門的壓力，根據(jù)水深3米對(duì)進(jìn)水口壓力才為6N可知此時(shí)浮體起作用；根據(jù)阿基米德原理表示出此時(shí)浮體受到的浮力，根據(jù)力的平衡條件結(jié)合受力分析得出等式，解等式即可求出此時(shí)進(jìn)水管停止進(jìn)水時(shí)水箱中水的深度．

解答：解：
（1）當(dāng)進(jìn)水管中水的壓強(qiáng)為P₁時(shí)，分別對(duì)浮體D、杠桿及閥門C受力分析，如圖1所示：

當(dāng)進(jìn)水管中水的壓強(qiáng)為P₂時(shí)，分別對(duì)浮體D、杠桿及閥門C受力分析，如圖2所示：
當(dāng)進(jìn)水管中水的壓強(qiáng)為P₃時(shí)，分別對(duì)浮體D、杠桿及閥門C受力分析，如圖3所示：

由第一幅圖和第二幅圖可得：
F₁=F₁′=F_浮-G=ρ_水gs₁h₁-ρ_柱gs₁h₁=（ρ_水-ρ_柱）gs₁h₁
=（1.0×10³kg/m³-0.4×10³kg/m³）×10N/kg×10×10^-4m²×0.5m=3N，
由F₁?0A=F₂?OB可得：
F₂′=F₂=2F₁=6N，
由第三幅圖可得：
F₃=P_水S=ρ_水gsh=1.0×10³kg/m³×3m×2×10^-4m²=6N，
F=F₂′+F₃=6N+6N=12N，
進(jìn)水管中水的壓強(qiáng)不能超過
P_進(jìn)=

F

S

=

12N

2×10-4m2

=6.0×10⁴Pa．
（2）F′=P_進(jìn)′S=3.3×10⁴Pa×2×10^-4m²=6.6N，
由于水深3m對(duì)進(jìn)水口壓力才為6N，故浮體起作用時(shí)設(shè)水深為h′則
2ρ_水gS₁（h′-2m）-2ρ_柱gS₁h₁+ρ_水gh′S=F′，
整理可得：h′=

F′+(2ρ水×2m+ρ柱h1)gS1

(2S1+S) ρ水g

=

6.6N+2×(1.0×103kg/m3×2m+0.4×103kg/m3×0.5m)×10N/kg×10×10-4m2

(2×10×10-4m2+2×10-4m2)×1.0×103×10N/kg

≈2.3m．
答：水箱中的水深度達(dá)到2.3m時(shí)，進(jìn)水管停止進(jìn)水．

點(diǎn)評(píng)：此題綜合性很強(qiáng)，且難度很大；解答時(shí)，從進(jìn)行受力分析入手，再將題目進(jìn)行分解：浮力問題、杠桿平衡條件問題、壓強(qiáng)問題；將三類問題通過力有機(jī)的結(jié)合在一起，充分利用題目的已知條件，就可解答此題．