【題目】在正方形中，是一條對(duì)角線，點(diǎn)在直線上(不與點(diǎn)、重合)，連接，平移，使點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)，得到，過點(diǎn)作于，連接，．

（問題發(fā)現(xiàn)）

（1）如圖①，若點(diǎn)在線段上，與的數(shù)量關(guān)系是________，位置關(guān)系是________．

（拓展探究）

（2）如圖②，若點(diǎn)在線段的延長線上，其他條件不變，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給出證明，否則說明理由．

（解決問題）

（3）若點(diǎn)在線段的延長線上，且，正方形的邊長為2，請(qǐng)直接寫出求的長度．

【答案】（1），；（2）結(jié)論仍然成立，理由見解析；（3）．

【解析】

（1）連接HC，根據(jù)正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)得到△HDP≌△HQC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到HP＝HC，∠DHP＝∠QHC，根據(jù)正方形是軸對(duì)稱圖形證明結(jié)論；

（2）同（1）的證明方法相同，根據(jù)圖形證明即可；

（3）由（1）的結(jié)論AH＝PH，AH⊥PH，得出∠HPA＝45°，推導(dǎo)出∠APD＝30°，再由三角函數(shù)即可求解．

（1），．

證明如下：如解圖，連接，

∵四邊形是正方形，

∴∠，

又∵，

∴是等腰直角三角形，

∴，，

由平移的性質(zhì)可知，

在和中，，

∴，

∴，．

根據(jù)正方形是軸對(duì)稱圖形得到，，

∴，

即，

∴，．

故答案為：，；

（2）（1）中的結(jié)論仍然成立，

理由如下：如解圖，連接，

∵四邊形是正方形，

∴，

又∵，

∴是等腰直角三角形，

∴，，

由平移的性質(zhì)可知，

在和中，，

∴，

∴，．

根據(jù)正方形是軸對(duì)稱圖形得到，，

∴，

∴，；

（3）．

由（1）知，，，

∴，

∵，

∴，

∴，，

∴，

∴，

∴，

在中，，

∴．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，拋物線L：y=ax2+bx+c與x軸交于A、B（3，0）兩點(diǎn)（A在B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C（0，3），已知對(duì)稱軸x=1．

（1）求拋物線L的解析式；

（2）將拋物線L向下平移h個(gè)單位長度，使平移后所得拋物線的頂點(diǎn)落在△OBC內(nèi)（包括△OBC的邊界），求h的取值范圍；

（3）設(shè)點(diǎn)P是拋物線L上任一點(diǎn)，點(diǎn)Q在直線l：x=﹣3上，△PBQ能否成為以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？若能，求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，已知矩形紙片ABCD，怎樣折疊，能使邊AB被三等分？

以下是小紅的研究過程．

思考過程

要使邊AB被三等分，若從邊DC上考慮，就是要折出DM＝DC，

也就是要折出DM＝AB，

當(dāng)DB、AM相交于F時(shí)，即要折出對(duì)角線上的DF＝DB．那么…

折疊方法和示意圖

①折出DB；對(duì)折紙片，使D、B重合，得到的折痕與DB相交于點(diǎn)E；繼續(xù)折疊紙片，使D、B與E重合，得到的折痕與DB分別相交于點(diǎn)F、G；

②折出AF、CG，分別交邊CD、AB于M、Q；

③過M折紙片，使D落在MC上，得到折痕MN，則邊AB被N、Q三等分．

（1）整理小紅的研究過程，說明AN＝NQ＝QB；

（2）用一種與小紅不同的方法折疊，使邊AB被三等分．（需簡述折疊方法并畫出示意圖）

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，為⊙的內(nèi)接三角形，為⊙的直徑，在線段上取點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），作，分別交、圓周于、，連接，已知．

（1）求證：為⊙的切線；

（2）已知，填空：

①當(dāng)__________時(shí)，四邊形是菱形；

②若，當(dāng)__________時(shí)，為等腰直角三角形．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】二次函數(shù)的函數(shù)圖象如圖，點(diǎn)位于坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在軸的正半軸上，點(diǎn)在二次函數(shù)位于第一象限的圖象上，，，，…都是直角頂點(diǎn)在拋物線上的等腰直角三角形，則的斜邊長為(　　)

A.20B.C.22D.

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】2020年春季開學(xué)后,某校制定了《新冠肺炎疫情防控期間就餐規(guī)范》，條例規(guī)定：不對(duì)面就餐、食而不語、錯(cuò)峰就餐、鼓勵(lì)打包等就餐措施．為了解學(xué)生對(duì)規(guī)范的認(rèn)知程度，校園小記者隨機(jī)調(diào)查部分同學(xué)，并根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖表：

請(qǐng)根據(jù)以上圖表，解答下列問題：

（1）這次被調(diào)查的同學(xué)共有______人，______，______；

（2）求扇形統(tǒng)計(jì)圖中B部分所對(duì)圓心角度數(shù)；

（3）學(xué)校團(tuán)委及政教處準(zhǔn)備對(duì)“不太了解”及“毫不知情”的同學(xué)進(jìn)行再學(xué)習(xí)培訓(xùn)，請(qǐng)問我校2400名學(xué)生中預(yù)計(jì)有多少人要接受再學(xué)習(xí)?

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某縣教育局為了豐富初中學(xué)生的大課間活動(dòng)，要求各學(xué)校開展形式多樣的陽光體育活動(dòng)．某中學(xué)就“學(xué)生體育活動(dòng)興趣愛好”的問題，隨機(jī)調(diào)查了本校某班的學(xué)生，并根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制成如下的不完整的扇形統(tǒng)計(jì)圖和條形統(tǒng)計(jì)圖：

（1）在這次調(diào)查中，共調(diào)查了 人，在扇形統(tǒng)計(jì)圖中，“乒乓球”的百分比為 %，如果學(xué)校有800名學(xué)生，估計(jì)全校學(xué)生中有 人喜歡籃球項(xiàng)目；

（2）請(qǐng)將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整；

（3）學(xué)校在喜歡籃球的初一學(xué)生中挑選了3名同學(xué)，分別是李明、林海和陳陽，然后在這3名學(xué)生中最終挑選2人參加學(xué)校的籃球隊(duì)，請(qǐng)用列表法或畫樹狀圖的方法求出李明最終被選上的概率．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，已知⊙O的半徑是4，點(diǎn)A,B,C在⊙O上，若四邊形OABC為菱形，則圖中陰影部分面積為（ ）

A. B. C. D.

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在邊長為4的正方形中，點(diǎn)為對(duì)角線上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)與點(diǎn)、不重合），連接，作交射線于點(diǎn)，過點(diǎn)作分別交，于點(diǎn)、，作射線交射線于點(diǎn)

（1）求證：；

（2）當(dāng)時(shí)，求的長．

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