Question

【題目】從1，2，3，…，2050這2050個(gè)數(shù)中任取2018個(gè)組成集合，把中的每個(gè)數(shù)染上紅色或藍(lán)色，求證：總存在一種染色方法，使得有600個(gè)紅數(shù)及600個(gè)藍(lán)數(shù)滿足下列兩個(gè)條件：

①這600個(gè)紅數(shù)的和等于600個(gè)藍(lán)數(shù)的和；

②這600個(gè)紅數(shù)的平方和等于這600個(gè)藍(lán)數(shù)的平方和.

Answer 1

【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析

【解析】

證明一：注意到.且 .則，且

把中的，，，型數(shù)染成紅色，

，，，型數(shù)染成藍(lán)色。

因?yàn)?/span>，所以.

構(gòu)造257個(gè)抽屜，第個(gè)抽屜放置形如“, ,,,,,”的數(shù)，.第257個(gè)抽屜放置中大于2048的數(shù)（最多2個(gè)數(shù)）.

2050個(gè)數(shù)中任取2018個(gè)數(shù)按要放入抽屜，至少填滿224個(gè)抽屜（放入了8個(gè)數(shù)），224個(gè)填滿數(shù)的抽屜每個(gè)抽屜都是4個(gè)紅數(shù)和4個(gè)藍(lán)數(shù)，其和相等且平方和相等。

取224個(gè)抽屜中的150人，，共600個(gè)紅數(shù)與600個(gè)藍(lán)數(shù)，也有和相等，且平方和相等.

即存在600個(gè)紅數(shù)與600個(gè)藍(lán)數(shù)，這600個(gè)紅數(shù)與個(gè)藍(lán)數(shù)的和相等，且平方和相等。

證明二：注意到，且.

則，

且

把中的，，，型數(shù)染成紅色。

，，型數(shù)染成藍(lán)色。

因?yàn)?/span>，所以.

構(gòu)造293個(gè)抽屜，時(shí)，抽屜放置集合中不超過(guò)6的數(shù)，其余的第個(gè)抽屜放置形如，， ，，，型數(shù)，.

2050個(gè)數(shù)中的任取2018個(gè)數(shù)按要求放入抽屜，至少填滿260個(gè)抽屜（放入了7個(gè)數(shù)），260個(gè)填滿數(shù)的抽屜中每個(gè)抽屜都是4個(gè)紅數(shù)和3個(gè)藍(lán)數(shù)，取，，型3個(gè)紅數(shù)和3個(gè)藍(lán)數(shù)，其和相等且平方和相等。

取260個(gè)抽屜中的200個(gè)，，共600個(gè)紅數(shù)與600個(gè)藍(lán)數(shù)，也有和相等，且平方和相等。

即存在600個(gè)紅數(shù)與600個(gè)藍(lán)數(shù)，這600個(gè)紅數(shù)與600個(gè)藍(lán)數(shù)的和相等，且平方和相等。