Question

【題目】（1）在經(jīng)典的氫原子模型中，電子圍繞原子核做圓周運動，電子的向心力來自于核電場的作用. 可是，經(jīng)典的電磁理論表明，電子做加速運動會發(fā)射電磁波，其發(fā)射功率可表示為（拉莫爾公式）：，其中為電子的加速度，為真空光速，，電子電荷量絕對值. 若不考慮相對論效應，試估計在經(jīng)典模型中氫原子的壽命.（實驗測得氫原子的結(jié)合能是，電子的靜止質(zhì)量）

（2）帶電粒子加速后發(fā)射的電磁波也有重要的應用價值. 當代科學研究中應用廣泛的同步輻射即是由以接近光速運動的電子在磁場中做曲線運動改變運動方向時所產(chǎn)生的電磁輻射. 電子存儲環(huán)是同步輻射光源裝置的核心，存儲環(huán)中的電子束團通過偏轉(zhuǎn)磁鐵等裝置產(chǎn)生高性能的同步輻射光. 上海光源是近年來建成的第三代同步輻射光源，它的部分工作參數(shù)如下：環(huán)內(nèi)電子能量，電子束電流強度，周長，單元數(shù)（裝有偏轉(zhuǎn)磁鐵的彎道數(shù)量），偏轉(zhuǎn)磁鐵磁場的磁感應強度.試計算該設(shè)備平均每個光口的輻射總功率.（在電子接近光速時，若動量不變，牛頓第二定律仍然成立，但拉莫爾公式不再適用，相應的公式變化為，其中，為電子總能量，為電子的靜止能量）

（3）由于存儲環(huán)內(nèi)電子的速度接近光速，所以同步輻射是一個沿電子軌道的切線方向的光錐，光錐的半頂角為，由此可見電子的能量越高，方向性越好. 試計算：上述設(shè)備在輻射方向上某點接收到的單個電子產(chǎn)生的輻射持續(xù)時間.（本題結(jié)果均請以三位有效數(shù)字表示）

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）。

【解析】

（1）經(jīng)典的氫原子模型中，電子圍繞原子核做圓周運動，有下列關(guān)系式存在：，，.

電子的總能量為.

由此可推得電子的總能量為.

由條件推導出氫原子的軌道半徑和運動速度分別為，.

由拉莫爾公式得初始發(fā)射功率為.

在微小的時間間隔中，輻射使電子的總能量減少，，

其中為電子軌道半徑的減少量. 由此可導出時間和半徑的變化方程：，其中.

構(gòu)造一個半徑為的球體，則即為距離球心為的薄球殼的體積，在到0的求和過程中可以算出球的體積為. 對應本題情況解出電子軌道從減少到0所需的時間為.

代入數(shù)據(jù)，得：.

（2）對于高能電子，可認為電子運動的速度接近光速，即有如下各式：，，，，.

以上條件可以得出電子的偏轉(zhuǎn)半徑：.

儲存環(huán)中的電子數(shù)量：，其中為電子旋轉(zhuǎn)一圈所花費的時間.

由上述式子及輻射條件可得每個電子每圈損失的總能量為（電子在直道上不輻射能量）：

.

由此得到存儲環(huán)中電子消耗的總功率為.

每個光口的功率為.

（3）在電子軌道上某點的切線方向上的某一點處觀察，觀察者只能在一個很短時間間隔內(nèi)看到電子發(fā)出的輻射，這段時間是電子的速度方向改變圓錐頂角（即）的角度所對應的光到達接收位置的時間間隔.

如圖所示，在這段時間內(nèi)電子移動的距離為.

令，則電子在這兩點發(fā)出的輻射時間間隔為.

但在軌道的切線方向上觀察，上述時間還要扣除點發(fā)射出的光到達點位置所花費的時間，

則.又，

結(jié)合可得，代入式得到.

代入數(shù)據(jù)得：.

本題是第26屆全國中學學生物理競賽決賽試題. 本題涉及的知識點很多，信息量比較大，結(jié)合程度也很高.

問題（1）再現(xiàn)了人類認識原子結(jié)構(gòu)在某個特定的歷史時期的局限，氫原子的壽命如此之短，讓大眾認識到理論與模型上的缺陷，進而也催生了玻爾的原子理論.問題（2）與問題（3）一方面考查了答題者對信息的處理與應用的能力，另一方面也考查了答題者綜合運用相對論知識的情況，設(shè)計相對論的時空效應、相對論能量等知識內(nèi)容.另外，解答過程中關(guān)于的運算也是應引起大家注意的，閱讀時不要一晃而過，先試一試，便知這一運算并不容易，更不要產(chǎn)生這是“湊”答案的思維，從而忽視了科學的嚴謹性.