Question

【題目】（1）如圖甲所示，直角三角板的AB邊緊靠墻壁，已知，，且，現(xiàn)今A點(diǎn)沿墻壁向O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，B點(diǎn)沿地面遠(yuǎn)離O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，直至AB與地面重合，求C點(diǎn)經(jīng)過(guò)的路程。

（2）現(xiàn)將三角板換成量角器，量角器半徑為R，開(kāi)始時(shí)量角器的直徑緊貼豎直墻壁，其運(yùn)動(dòng)方式與三角板的運(yùn)動(dòng)方式類(lèi)同，最后它的直徑與水平面相貼，求量角器倒下時(shí)掃過(guò)的面積。

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

解析1．作出任意時(shí)刻三角板所處的位置如圖乙所示，并將其置于坐標(biāo)系中，其中x軸水平向右，y軸豎直向上，O點(diǎn)為墻角。設(shè)該時(shí)刻AC邊與水平線的夾角為，，連接OC。

因?yàn)?/span>，，由此可以推出四邊形AOBC有外切圓。

因同一個(gè)圓的同一段弧所對(duì)的圓周角必相等，故，很顯然，三角板的一個(gè)角是定值，得是一定值，這表明C僅在與地面夾角為的直線上運(yùn)動(dòng)，相對(duì)于某一瞬時(shí)的可求出，

。

因，，

其中是從到0再到的一個(gè)連續(xù)變化，所以

，

。

因此

。

2．由1的討論，易知C點(diǎn)離O點(diǎn)最遠(yuǎn)的情形，即該直角三角形ABC，在整個(gè)過(guò)程中C點(diǎn)所能達(dá)到的最遠(yuǎn)處為，顯然。因此，對(duì)直徑為2R的量角兩器應(yīng)有。如圖丙所示。所以量角器邊緣上各點(diǎn)能達(dá)到的最遠(yuǎn)的地方都是在離O點(diǎn)2R的地方。因此，量角器倒下時(shí)掃過(guò)的面積為

。