Question

【題目】如圖所求，半徑為的空心球繞其本身豎直軸線旋轉(zhuǎn)，角速度，在球內(nèi)高度為處有一木塊隨同球一起旋轉(zhuǎn)。問(wèn)：

（1）摩擦因數(shù)至少為多少時(shí)才能實(shí)現(xiàn)這一情況？

（2）當(dāng)時(shí)，實(shí)現(xiàn)這一情況的條件是什么？

（3）如果木塊的位置有微小的變化或球的角速度有微小的變化，木塊的穩(wěn)定性如何？

Answer 1

【答案】（1）0.2259 （2）0.1792 （3）略

【解析】

木塊在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中受到球面靜摩擦力的作用，要注意靜摩擦力的方向，第（3）問(wèn)討論木塊的穩(wěn)定性的方法比較有一般性.

因?yàn)橐�求的是最小摩擦因�?shù)，所以可以考慮是最大靜摩擦力．靜摩擦力的方向尚不明確，我們可以先讓它沿切線方向向上（即木塊有向下的滑動(dòng)趨勢(shì)）. 此時(shí)木塊在轉(zhuǎn)動(dòng)參照系中受到四個(gè)力而平衡：重力、摩擦力，彈力、慣性力（如圖乙所示）.

由平衡條件有，.

可解得，.

（1）將的數(shù)據(jù)代入，，可見(jiàn)是沿切線方向向上的，因此

.

（2）將的數(shù)據(jù)代入，，可見(jiàn)是沿切線方向向下的，因此

.

（3）要研究當(dāng)木塊位置有微小變動(dòng)（即有微小變動(dòng)）或角速度有微小變動(dòng)時(shí)木塊的穩(wěn)定性，必須要看與、的相關(guān)性. 但從（1）（2）中的表達(dá)式可看出與、的關(guān)系是比較復(fù)雜的，此時(shí)我們可以用作圖像的方法來(lái)看它們的相關(guān)性.

和、粗略的圖像如圖丙所示.

從圖中可看出：如果不變而木塊上滑（即變大），那么變大，即需要較大的靜摩擦因數(shù)才能穩(wěn)定，現(xiàn)在的不夠大，因此木塊將滑回原處；如果不變而變小，那么變小，即只需較小的靜摩擦因數(shù)就能穩(wěn)定，現(xiàn)在的已足夠，所以木塊不會(huì)回到原處. 如果不變而變大，那么變小，所需的靜摩擦因數(shù)變小，已足夠，木塊將仍在原處；如果不變而變小，那么變大，所需的靜摩擦因數(shù)變大，不夠大，木塊將下滑，以便因的減小而使所需的減小，才能在新的位置上保持平衡.

和、的粗略圖像如圖丁所示.

用同樣的方法可看出：如果木塊向上滑動(dòng)，它將停留在該處；如果木塊向下滑動(dòng)，它將返回；若增加，木塊將向上移動(dòng)；若減小，木塊將停留在該處.

本題的前兩問(wèn)是非慣性系中的靜平衡問(wèn)題，難度不大，但摩擦力的方向因不同的值而變化，這一變化隱含在表達(dá)式與具體的數(shù)據(jù)中，能否挖掘出來(lái)，值得閱讀時(shí)思考.

對(duì)于問(wèn)題（3），首先是答題者能否正確木塊的穩(wěn)定取決于與、之間的制約. 其次則是否從與、的關(guān)系式中分析出在微擾情況下的穩(wěn)定性. 顯然，用解析方式進(jìn)行分析，難度是可以預(yù)料的，能否順利地轉(zhuǎn)化為用圖像進(jìn)行討論，成為能否解答的關(guān)鍵. 再次，則是答題者能否順利地完成作圖，并依據(jù)圖像作出定性分析，這是答題者能否正確解答的最后障礙了.

其實(shí)，每一塊知識(shí)都有一些“超難”的試題，這些試題即便你能順利閱讀，甚至短時(shí)間內(nèi)也能在練習(xí)中復(fù)現(xiàn)，但并不等于你已經(jīng)完全掌握，因?yàn)�，不久以后，你仍然不能�?dú)立地完成對(duì)它的解答. 但這并不是我們不閱讀、不訓(xùn)練這類試題的理由，因?yàn)�，這類試題的解答一定會(huì)給我們示范一些復(fù)雜問(wèn)題的處理方式，而這些處理方式往往會(huì)被我們遷移至其他的一些并不難的習(xí)題解答之中，這正是我們學(xué)習(xí)與訓(xùn)練此類習(xí)題的初衷.