Question

【題目】如圖所示，在標準大氣壓下，一端封閉的玻璃管長，內(nèi)有一段長的水銀柱，溫度為27℃且管口向上豎直放置時，被封閉的氣柱長為。試問：當溫度至少升高到多少度，水銀柱才會從玻璃管中全部溢出？（大氣壓強）

Answer 1

【答案】

【解析】

本題給出的過程是由一系列非平衡狀態(tài)構(gòu)成的非靜態(tài)過程，整個過程是滿足理想氣體的狀態(tài)方程的，通常情況下是選擇初態(tài)與末態(tài)來應(yīng)用氣態(tài)方程求解，且以水銀全部溢出時作為末態(tài)，即設(shè)全部溢出水銀時溫度為T，根據(jù)氣態(tài)方程有

求得。

然而這一結(jié)果卻是錯誤的，初次接觸本題時，很容易落入上述的解題陷阱中。下面我們根據(jù)過程逐步分析，作出某些判斷才得到正確解答。

因為，當氣體的溫度上升時，其體積增大，水銀柱上升，在水銀柱上升距離小于（時，水銀不會溢出，故此過程中氣體的壓強恒定，氣體等壓膨脹。當水銀柱升到與管口相齊時，溫度繼續(xù)升高，氣體體積膨脹，水銀將開始溢出。這時，氣體上方水銀柱長度在變化，因此氣體的狀態(tài)參量p、V、T均發(fā)生變化，但只要水銀沒有全部溢出，氣體的質(zhì)量將保持一定。由理想氣體狀態(tài)方程 恒量，可知，要Τ有最大值，則要pV最大。此時對應(yīng)溫度Τ為水銀全部溢出的最低溫度，即溫度稍微上升時，水銀繼續(xù)溢出，壓強減小，氣體體積膨脹，水銀會自動全部溢出。所以找出pV的表達式，討論值最大時，Τ應(yīng)為何值便可。

先計算加熱到時，水銀柱上升到與管口平齊，則此時氣柱長為。只要水銀還未外溢，氣柱壓強仍保持不變。由蓋·呂薩克定律可知V與Τ成正比，得

即，

解得。

當溫度繼續(xù)上升，水銀開始溢出，氣柱體積繼續(xù)增大，但氣柱壓強要減少，這時pV值是增大還是減少不可以定性直接判斷。我們知道，當pV值最大時，對應(yīng)的溫度是最高。故要借助數(shù)學(xué)工具進行討論。

設(shè)此時水銀柱長xcm，氣體壓強，氣柱長。

此時pV有最大值。即討論當x為何值時pV有最大值。用厘米長氣柱作為體積單位，則

。

當時（符合的要求），pV值有最大值。

由氣態(tài)方程得

，

即。

當溫度在385.2K基礎(chǔ)上再稍微上升時，氣體體積膨賬，壓強減少，水銀繼續(xù)溢出，氣體體積繼續(xù)膨脹，直到自動全部溢出為止。