Question

【題目】如圖所示，空間有互相正交的勻強(qiáng)電場和勻強(qiáng)磁場，沿方向，沿方向．一個(gè)帶正電、質(zhì)量為的粒子（設(shè)重力可以忽略），從坐標(biāo)原點(diǎn)開始無初速出發(fā)，求粒子坐標(biāo)和時(shí)間的函數(shù)關(guān)系，以及粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡．

Answer 1

【答案】① ② ③粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡為旋輪線

【解析】

粒子從點(diǎn)起無初速出發(fā)，受恒定電場力作用沿方向運(yùn)動(dòng)．因?yàn)樗俣?/span>的大小、方向都改變的洛侖茲力僅在平面上起作用，粒子軌跡一定不會(huì)離開平面且一定以為起點(diǎn)，既然粒子僅受的兩個(gè)力中，一個(gè)是恒力，一個(gè)是變力，利用獨(dú)立性與疊加原理，我們設(shè)想把洛侖茲力分解為兩個(gè)分力，使一個(gè)分力跟恒電場力抵消，這就把實(shí)際受力簡化為只受一個(gè)洛侖茲力分力的問題。注意此處不是場的分解和抵消，而是通過先分解速度再達(dá)到對力進(jìn)行分解和疊加．

我們都知道，符合一定大小要求的彼此正交的勻強(qiáng)復(fù)合電磁場能起速度選擇器作用．受其原理啟發(fā)，設(shè)想粒子從點(diǎn)起（此處）就有一個(gè)沿軸正方向、大小為的始終不變的速度．當(dāng)然在點(diǎn)同時(shí)應(yīng)有一個(gè)沿方向的大小也是的速度，保證在點(diǎn)，則，沿方向，沿方向，彼此抵消，可寫成．因任一時(shí)刻，所以，，或改寫成：．式中的三個(gè)速度和三個(gè)都在平面上，其物理意義是：粒子在復(fù)合場中受的兩個(gè)真實(shí)的力和的矢量和，可以用一個(gè)洛侖茲力分力來代替，這樣做的一個(gè)先決條件是把粒子運(yùn)動(dòng)看成以下兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)的合成：

①沿方向的的勻速直線運(yùn)動(dòng)；

②在平面上的一個(gè)勻速圓周運(yùn)動(dòng)．

其理由是：是平面力，軌跡又是平面的而不是三維空間的，所以必與垂直，在點(diǎn)就是，之后不對粒子做功，大小不變，充當(dāng)向以力．這個(gè)圓周運(yùn)動(dòng)特征量是，，．

時(shí)刻，粒子位于點(diǎn)，此時(shí)起粒子具有兩個(gè)速度：一是之后方向始終不變、大小為的速度．由這個(gè)速度引起的洛侖茲力跟電場力抵消，另一個(gè)速度是在點(diǎn)時(shí)沿方向的大小為的速度，該速度引起的洛侖茲力指向點(diǎn)，這點(diǎn)就時(shí)的圓心．之后該圓心以速率沿平行于軸正向的方向無滑動(dòng)開始平動(dòng)，粒子是該圓周上的一個(gè)點(diǎn)，且時(shí)恰好就是該圓與軸的切點(diǎn)即坐標(biāo)原點(diǎn)，此后，粒子相對圓心以角速度順時(shí)針繞行，如圖乙所示．在平面上，粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡被稱為旋輪線，其坐標(biāo)值隨時(shí)間變化的參數(shù)方程為

， ①

， ②

． ③

本題是物理競賽試題中最經(jīng)典的試題之一．

首先，本題解答中對粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的處理，既特別又具有典型性．即在粒子的運(yùn)動(dòng)中分解出一個(gè)勻速直線運(yùn)動(dòng)，使其因運(yùn)動(dòng)而受到的洛侖茲力與其受到的恒定電場力（有的模型中為粒子的重力）構(gòu)成平衡，從而粒子的運(yùn)動(dòng)是一個(gè)勻速直線運(yùn)動(dòng)與一個(gè)勻速圓周運(yùn)動(dòng)的合成．

其次，本題問題設(shè)置的可塑性很大．至少，粒子初速度的設(shè)置就可能導(dǎo)致軌跡方程表述的復(fù)雜程度發(fā)生大的變化，還有可能涉及過程中物理量的討論與計(jì)算，如加速度、曲率半徑等．

再次，本題中粒子的軌跡方程是旋輪線，物理中圍繞旋輪線能做大量的文章，如對形成此類軌跡的力學(xué)模型的研究，它與等時(shí)擺線的關(guān)系．

最后，有一定數(shù)學(xué)能力的學(xué)生，不妨嘗試把參數(shù)消去得出與的關(guān)系式，用來表示其軌跡的方法，并在此基礎(chǔ)上研究等時(shí)擺．

總之，競賽學(xué)習(xí)過程中，深挖此題的功能，一定會(huì)有較大的收獲．