Question

【題目】如圖所示，一個(gè)圓柱形容器，高為h，半徑為a，容器中裝有高度為的液體。容器繞它豎直方向的軸以角速度旋轉(zhuǎn)。忽略任何表面張力的效應(yīng)，求使液體不溢出容器邊緣的最大角速度的表達(dá)式。

Answer 1

【答案】

【解析】

原則上，本題既可用力來(lái)進(jìn)行處理，也可以用勢(shì)來(lái)處理，這里選擇后者。

在轉(zhuǎn)動(dòng)參考系中討論，本問(wèn)題屬于靜平衡的問(wèn)題。在轉(zhuǎn)動(dòng)參考系中，液體表面靜止不動(dòng)，無(wú)表面方向的流動(dòng)，即平衡的表面是一個(gè)等勢(shì)面（慣性離心力和重力作用的結(jié)果）。

在轉(zhuǎn)動(dòng)系中，由于總的力場(chǎng)是由兩個(gè)力場(chǎng)組成的，每個(gè)分力場(chǎng)的勢(shì)能零點(diǎn)可以獨(dú)立地選定（其和最多差一個(gè)常量）。

離心力勢(shì)能：將勢(shì)能零點(diǎn)選擇于處，則

。

重力勢(shì)能：將勢(shì)能零點(diǎn)選擇于處，則

。

所以，整個(gè)曲面在選擇最低點(diǎn)作為原點(diǎn)的條件下，表面的勢(shì)能為零，寫出方程：

，即。

液體不溢出容器的為曲面所圍的在容器內(nèi)的容積正好等于整個(gè)容器體積的，即

，可得。

又滿足，

則。