Question

【題目】如圖所示，有一均勻帶負(fù)電的正方形絕緣線框，每邊邊長(zhǎng)為，線框上串有許多帶正電的小球（看成質(zhì)點(diǎn)），每個(gè)小球的帶電量為，每邊的總帶電量為零（即線框的帶電量和各小球的帶電量互相抵消）. 今各小球相對(duì)線框以速率沿絕緣線做勻速運(yùn)動(dòng)，在線框參考系中測(cè)得相鄰兩小球的間距為，線框又沿邊以速率在自身平面內(nèi)相對(duì)系做勻速運(yùn)動(dòng). 在線框范圍內(nèi)存在一均勻電場(chǎng)，其方向與線框平面的傾角為. 考慮相對(duì)論效應(yīng)，試在系中計(jì)算以下各量.

（1）線框各邊上相鄰兩小球的間距，，，

（2）線框各邊的凈電量，，，

（3）線框和小球系統(tǒng)所受的電力矩大小

（4）線框和小球系統(tǒng)的電勢(shì)能.

Answer 1

【答案】（1） （2） （3）（4）

【解析】

（1）令為觀察到的環(huán)路以速度運(yùn)動(dòng)的實(shí)驗(yàn)室參照系，為環(huán)路參照系（系的軸與同向，沿著邊的方向，軸則垂直于環(huán)路所在平面）. 系各軸平行于系各對(duì)應(yīng)軸，與系的坐標(biāo)原點(diǎn)在時(shí)重合.

（a）邊

建立與邊上的小球一起運(yùn)動(dòng)的參照系，它的各坐標(biāo)軸與，系的坐標(biāo)軸平行. 相對(duì)具有速度.

據(jù)洛倫茲收縮，測(cè)得的邊上相鄰兩個(gè)小球之間的距離為

. ①

（只要是在相對(duì)小球靜止的參照系中測(cè)得的相鄰兩球間距，上式對(duì)任何一條邊均成立）

據(jù)相對(duì)論速度求和公式，系中的觀察者認(rèn)為邊上各球具有的速度為

. ②

再據(jù)洛倫茲收縮，此觀察者將測(cè)得邊上相鄰兩球的間距為

. ③

將①②式代入到③式，可得

. ④

（b）邊

對(duì)系中的觀察者而言，邊上小球的速度為

. ⑤

再據(jù)洛倫茲收縮有

. ⑥

將①⑤式代入到⑥式，便得

. ⑦

（c）邊

在系中，令邊上的某一小球在時(shí)刻位于處. 在同一時(shí)刻，鄰近的一個(gè)小球應(yīng)位于，，處.

各球相對(duì)于系的空——時(shí)坐標(biāo)可由洛倫茲變換式給出

；，；. ⑧

據(jù)此，第一個(gè)小球在系中有

；，；. ⑨

第二個(gè)小球則為

；，；. ⑩

由于，系中這兩個(gè)小球之間的距離便為

，

即得.

（4）邊

重復(fù)上述相似的結(jié)論，可得

.

（其實(shí)，由于，邊與垂直，無(wú)洛倫茲收縮，故）

（2）在環(huán)路參照系中，每一條邊線上的電荷量為.

在此已考慮到為各邊上的小球數(shù). 由于電荷是運(yùn)動(dòng)不變量，在實(shí)驗(yàn)室參照系中測(cè)得的各邊線電荷量也為此值.

（a）邊在實(shí)驗(yàn)室參照系中，邊上各球電荷量之和為

.

此式系由邊上小球數(shù)乘以每一小球電荷量（運(yùn)動(dòng)不變量）來(lái)獲得. 式右邊第一項(xiàng)中的分子為系中觀察者測(cè)得的運(yùn)動(dòng)收縮邊長(zhǎng)，分母則為相鄰小球的間距.

將④式代入到式中，可得

.

將式和式相加，便得邊上總電荷量為

.

（b）邊用相同的方法可得

.

將和式式相加，可得

.

（c）邊和邊在系中觀察者測(cè)得這兩條邊的邊長(zhǎng)均為，相鄰兩球的間距也均為，因此

. /span>

將和式相加，可得

， （21.1）

. （21.2）

（3）作用在邊上的電場(chǎng)力為

.

作用在邊上的電場(chǎng)力為

.

與形成一力偶. 據(jù)力偶的力矩表達(dá)式，可得（參見(jiàn)圖1）

.

最后可表達(dá)成

.

（4）顯然，線框上與兩邊上的電荷的總電勢(shì)能為零，或者不予考慮.

令和分別為邊上各點(diǎn)和邊上各點(diǎn)的靜電勢(shì)（指場(chǎng)強(qiáng)為的外電場(chǎng)的電勢(shì)），那么有.

將電勢(shì)零位（）選在與垂直的一個(gè)平面上，此平面與邊的間距為某一任意量（見(jiàn)圖2），于是

.

但，故

.

將式代入到式，便得

.

本題是第22屆國(guó)際物理奧林匹克競(jìng)賽試題.首先，對(duì)于運(yùn)動(dòng)的系統(tǒng)，在考慮相對(duì)論效應(yīng)時(shí)，不同的參照系間的時(shí)空會(huì)發(fā)生變化，物體的質(zhì)量也要發(fā)生變化，但電量卻是不變的.其次，不要糾結(jié)于為什么在線框系中各邊的總電量為零，而到了實(shí)驗(yàn)室參照系中各邊的總電量就不為零了. 因?yàn)閷?duì)于邊線而言，它在線框系中是靜止的，在實(shí)驗(yàn)室系看來(lái)，其上的電荷分布是與線框在一起的，因而，線框上的電量不會(huì)變化，但小球是運(yùn)動(dòng)的，在實(shí)驗(yàn)室系中看，雖然每個(gè)球上的電量是不變的，但每個(gè)邊上的小球數(shù)量并不相同，于是有了解答中的結(jié)果.再次，本題也提示我們?cè)趯W(xué)習(xí)相對(duì)論知識(shí)的過(guò)程中，應(yīng)該注意到哪些是與參照系相關(guān)的量，哪些是與參照系無(wú)關(guān)的不變量.最后，本題所要求的量很多，上面的解答也為我們提供了一個(gè)很好的程序法的示例：將問(wèn)題逐個(gè)排序解決，從而保證了解答過(guò)程的清晰明了，避免出現(xiàn)疏漏及錯(cuò)誤.